专题10+【大题限时练10】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题10 大题限时练101．在圆内接四边形中，，，，求面积的最大值．【答案】【详解】圆内接四边形，，又，，，在中，，由正弦定理知，，即，，在中，由余弦定理知，，，，当且仅当时，等号成立，面积，故面积的最大值为．2．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知正项数列的前项和为，，满足 _____．（1）求；（2）若，求数列的前项和．【答案】见解析【详解】（1）选①，时，，即有，当时，，又，两式相减可得，化为，即有，即，对也成立，所以，；选②，由时，，当时，，又，两式相减可得，可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，由于，，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，；选③，当时，，又，两式相减可得，由于，可得，化为，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，；（2），，，两式相减可得，化为．3．已知在三棱柱中，，，侧棱与底面垂直，点，分别是棱，的中点．（1）求三棱柱外接球的表面积；（2）设平面截三棱柱的外接球面所得小圆的圆心为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在平面作的角分线，交于点，使，连接、，在平面作的角分线，交于点，使，连接、，取中点，点即为三棱柱中外接球的球心，设半径为，因为，，所以外接球的表面为．（2）平面截三棱柱的外接球面所得小圆即为外接圆，其圆心为点，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，，0，，，，，，，，，，，，，，，0，，，0，，，0，，，，，，，，设平面的法向量为，，，，令，，，，，所以直线与平面所成角的正弦值为．4．某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展．若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展．根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为（假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的）．（1）求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；（2）求这次会展活动展出的平均天数．（结果精确到【答案】见解析【详解】（1）记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件，则未来一周5天展出会展的概率为，（A）；（2）设随机变量表示会展展出的天数，则，1，2，3，4，5，，，，，，，所以，即这次会展活动展出的平均天数为1.9天．5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，以椭圆的短轴为直径的圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）；（2），【详解】（1）由题意可知，，又，解得，，所以椭圆的标准方程为：；（2）设四边形的面积为，则，①当轴时，，，所以，②当轴时，，，所以，③当与都不与轴垂直时，直线的斜率存在且不为0，设，，，，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则设直线的方程为：，联立方程，消去整理可得：，所以，所以，过作直线的平行线和椭圆交于点，，由对称性知，在中的换成，得，所以，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，，所以，所以四边形面积的取值范围，．6．已知函数，．定义新函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若新函数的值域为，，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）函数，则，①当，即时，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，，当，即时，令，解得，令，解得或，故在和，上单调递减，在上单调递增；当，即时，，所以在上单调递减；当时，令，解得，令，解得或，所以在和上单调递减，在，上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在和，上单调递减，在上单调递增；当时，以在上单调递减；当时，在和上单调递减，在，上单调递增．（2）因为，，所以有解，即在上有解，令，则，令，则，故在上单调递增，又，故存在，使，当时，，即，则单调递减，当，时，，即，则单调递增，故的最小值为且，，由，可得，即，令，，所以在上单调递增，又，即，所以，故的最小值为，故，所以．