专题12+【大题限时练12】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题12 大题限时练121．在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知的内角，，所对应的边分别为，，，若，___．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）若选①：，由正弦定理得，整理得，，且，；若选②：，根据正弦定理得，且，，，且，；若选③：，，，解得或，且，；（2），由正弦定理得，且，，．2．已知数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【详解】（1）数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，，设数列的公比为，则，由于，故，解得或．由于数列为正项数列，所以．则．（2）由（1）知：，所以，当为偶数时，则，当为奇数时，则．故．3．如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点．（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】依题意可得，，两两垂直，故以为原点建立空间直角坐标系（如图），，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，（1），0，，，0，，，，，，，，，且，面．（2）设，，，0，，4，，，，，，0，，设面的法向量为，，，由，可取，3，，则直线与平面所成角正弦值为，当时，取得最小值1，此时的值最大为．即直线与平面所成角正弦的最大值为．4．现对某市工薪阶层对于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：月收入，，，，，，频数510151055赞成人数4812521（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，并问能否有的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分界点有关”？ 月收入不低于65百元的人数月收入低于65百元的人数合计赞成   不赞成   合计   （2）若对月收入在，和，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数的分布列及数学期望．附：，．0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】见解析【详解】（1）列联表为： 月收入不低于65百元的人数月收入低于65百元的人数合计赞成32932不赞成71118合计104050根据列联表可得的观察值，所以有的把握认为“某市工薪阶层对于‘楼市限购令’的态度与月收入以6500元为分界点有关”．（2）的所有可能取值有0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为：0123数学期望．5．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与的准线相切．过抛物线的焦点的直线交于，两点，过弦的中点作平行于轴的直线与直线，，分别相交于，，三点．（1）求的方程；（2）当时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或【详解】（1）设一个半径为的圆的圆心的坐标为，，可得，由抛物线的焦点为，，准线方程为，可得，解得，则抛物线的方程为；（2）由，准线方程为，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，，，则，，，则的中点的坐标为，，由，可得，的方程为即，的方程为，即，代入，可得，，，，，即为，解得，所以直线的方程为，即为或．6．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，均有，求的值；（3）假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81，若其10次投篮全部命中的概率为，证明：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）由题知，，若，则，在上单减；若，令，解得，当时，，当，时，，在单增，在，单减；（2）由（1）知，若，则在上单减，且（1），当时，，不合题意；若，则，令，，，当时，，单减，当时，，单增，（1），为满足题意，必有，即，解得；（3）证明：由题意知，，由（2）知，，即，，，即得证．