专题14【大题限时练14】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题14 大题限时练141．在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）求；（2）若，，延长到，使，求线段的长度．【答案】见解析【详解】（1）选①：由正弦定理知，，，，，，即，，，，，即．选②：由正弦定理知，，，，，，，，．选③：，由余弦定理知，，，，．（2）在中，由余弦定理知，，，化简，解得或（舍负），由正弦定理知，，，，所以，而，在中，由正弦定理知，，，在中，由余弦定理知，，即，化简得，，解得或（舍负），故线段的长度为5．2．已知等差数列的首项为2，前项和为，正项等比数列的首项为1，且满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前26项和．【答案】（1），；（2）328【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，所以，又，，所以，因为数列是正项等比数列，所以，则，所以，．（2），则，所以数列的前26项和：．3．为更好的选拔实用性、全面性人才，2020年山东省进行新高考改革．至此，文科生、理科生的分类方法退出了历史舞台．山东省新高考由普通高等学校招生统一考试（语文、数学和外语）和山东省普通高中学业水平等级考试门选考科目）组成．其中，普通高等学校招生统一考试按原始分每科总分150分和山东省普通高中学业水平等级考试按等级分每科总分100分计入总成绩，总分750分．山东省新高考改革后，试题难度有所上升．今日山东创新联盟数学调查小组对某市5万高考应届生关于“新高考数学和新高考语文哪一个更难”问题进行了调查，调查部分结果如表．已知女生认为“新高考数学比新高考语文难”的人数是男生的1.75倍．调查表新高考数学比新高考语文难新高考语文比新高考数学难总计女生 0.75万 男生  2.5万总计 2.25万5万（1）完成上述调查表．（2）将频率视为概率．按分层抽样的方法在该市某中学某班中抽取10名女生和10名男生作为样本，再从这20人中随机抽取4人．设为4人中认为“新高考语文比新高考数学难”的女生人数有人的概率，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】见解析【详解】（1）由题意可得调查表新高考数学比新高考语文难新高考语文比新高考数学难总计女生1.75万0.75万2.5万男生1万1.5万2.5万总计2.75万2.25万5万（2）由题意，抽取的10名女生中，认为“新高考语文比新高考数学难”有名，所以随机变量的可能取值为0，1，2，3，，，，所以随机变量的分布列为：0123数学期望．4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，为棱上一动点（包括端点），连接、、．（1）求证平面平面．（2）求平面与平面所成角的余弦值的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【详解】（1）证明：在正方形中，，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：以点为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，0，，，1，，，1，，设，0，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，同理可得为平面的法向量，所以平面与平面所成角的余弦值为：，令，则，解得或，所以当时，（a）恒成立，故（a）在，上单调递增，所以（a）的最大值为（1），故平面与平面所成角的余弦值的最大值为1．5．设抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，分别以，为切点的抛物线的两条切线交于点，求三角形周长的最小值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由抛物线定义可得，，解得，所以抛物线的标准方程为；（2）设，，，，设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，，设在点，处的切线斜率分别为，，则，所以在点的切线方程为，即①，同理可得，在点处的切线方程为②，由①②可得，，将代入①可得，，所以，即点在定直线上，设点关于直线的对称点位，则，因为，所以三角形周长取得最小值为．6．设函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1），则，又，切线方程为，即；（2）证明：先证明，令，则，易知函数在上递减，在，上递增，则，即，再证明，令，则，易知函数在上递减，在上递增，则（1），即，如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，由，得，当且仅当时等号成立，由，得，当且仅当时等号成立，，即得证．