专题15+【大题限时练15】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题15 大题限时练151．已知正项等比数列，其中，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，令． 第一列第二列第三列第一行532第二行4109第三行18811（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1），；（2）见解析【详解】（1）因为正项等比数列的，，分别是表格中第一、二、三行中的某一个数，可得，，，可得公比为2，则，；（2）证明：，所以．2．在中，内角，，的对边分别为，，，是上的点，平分，的面积是面积的2倍．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）2；（2）【详解】（1），，因为，，所以，由正弦定理可得．（2）由于，可得，由余弦定理，又，，所以，所以，，又因为，且，可得，所以．3．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接交于，连接，取中点，连接，因为，，所以，，，因为平面，所以，又因为，所以，，所以，所以，于是，所以，即，因为平面，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）知，、、两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，0，，，，，设平面和平面的法向量分别为，，，，，，，令，，，，，令，，3，，设平面和平面所成锐二面角的大小为，则．所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．4．已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如表：综合评价成绩（单位：分），，，，，，频数510151055赞成人数4812431（1）请根据以上统计数据填写下面列联表，并回答：是否有的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？ 综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成   不赞成   合计   （2）若采用分层抽样在综合评价成绩在，，，的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在，的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】见解析【详解】（1）根据题意填写列联表，如下： 综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成28432不赞成12618合计401050计算，所以没有的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异．（2）根据分层抽样知在，内抽取6人，，内抽取4个，再从这10人选其中3人，则这3人中至少有1人在，的概率为：．5．已知椭圆的长轴与短轴长度之比为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设左焦点为，为过点的一条直线，交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于点，连接．求证直线恒过定点．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，且，，，，，所以椭圆方程为；（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，，，，，，得，，，方程为：，令，则，故直线恒过定点．6．已知，，．（1）求证有且仅有一个极小值点．（2）若存在，使得恒成立，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【详解】（1）证明：，，，，，当，时，，，时，，故在，单调递增，又，，由零点存在性定理可知在，上存在唯一零点，且，．使得，时，，，时，，故在，单调递减，在，单调递增，故的极小值点是，有且仅有一个极小值点．（2）解：，，，令，可得，，由（1）可知在，内存在零点，所以当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值为，又，所以的最小值为1，因为存在，使得恒成立，所以，所以的最大值为1．