专题16+【大题限时练16】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题16 大题限时练161．在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在中，角，，的对边分别为，，，外接圆面积为，，且_____，求的面积．【答案】见解析【详解】若选①，由正弦定理得，因为，所以，故，由为三角形内角得，由题意得外接圆半径，由正弦定理得，所以，又，所以，由余弦定理得，解得，，所以；若选②，由正弦定理，整理得，因为，故，由为三角形内角得，由题意得外接圆半径，由正弦定理得，所以，又，所以，由余弦定理得，解得，，所以；若选③，由正弦定理得，即，因为，所以，故，由题意得外接圆半径，由正弦定理得，所以，又，所以，由余弦定理得，解得，，所以．2．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）解：由可得：，两式相减得：，即，，又当时，有也适合上式，；（2）证明：由（1）可得：，．3．党中央、国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验现有以下三种方案：方案一：4个样本逐个化验；方案二：4个样本混合在一起化验；方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；（2）若，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由．【答案】见解析【详解】（1），按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率：．（2）方案一：逐个检测，检验次数为：，方案二：检测次数为，的可能取值为1，5，，，的分布列如下：15方案二的数学期望为：．方案三，由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性，则检测次数为1，概率为，若呈阳性则检测次数为3，概率为，故方案三的检测次数记为，的可能取值为2，4，6，，，，的分布列为：246方案三的期望为，，方案一、二，三中方案二最“优”．4．如图，四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：作交于点，连结，设，则，，，在中，由余弦定理可得，解得，所以，所以，又因为，且，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：因为平面把四棱锥分成体积相等的两部分，且它们的高均为，所以，所以，解得，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．5．已知，是椭圆长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，直线的方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为．判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）由已知，，因为点在椭圆上，直线，的斜率之积等于，所以，解得，又，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）设，，，为过点的直线与椭圆的交点，①若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，消去整理可得：，所以，设，，，，因为，，三点共线，即，所以，由已知可得，点不在直线上，且，所以，同理可得，所以，将代入上式化简可得：，所以点的坐标为，，当时，直线的斜率，因为直线的斜率与的取值无关，所以，则，此时，②若果点的直线的斜率不存在，此时，为椭圆的长轴端点，不妨设，，，因为，，三点共线，的坐标为，，同理的坐标为，，此时线段的中点为，所以也满足要求，综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值．6．已知数列．（1）证明：，是自然对数的底数）（2）若不等式成立，求实数的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：要证成立，两边取对数，只需证明成立，可令，，构造函数，即只需证明在，小于0，由于，在区间，上，，递减，且，所以在区间，上，，所以不等式成立；（2）对于两边取对数，只需不等式成立，可令，，构造函数，成立，等价于在区间，上恒成立．其中，由分子，得其两个实数根为，，当时，，在区间，上，，递增，由于，不等式不成立．当时，，在区间上，，递减；在区间，上，，递增，且，只需（1），可得时不等式成立．当时，，在区间上，，递减，且，不等式恒成立．综上，不等式成立，实数的最大值为．