专题05【大题限时练5】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题05 大题限时练51．如图，是圆锥的顶点，是底面圆的圆心，、是底面圆的两条直径，且，，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）；（2）【详解】（1）连接，则，所以为异面直线与所成角，因为，，又，所以平面，又平面，所以，在中，，，，所以异面直线与所成角大小为．（2）以为原点，，，为，，轴，如图所示：所以，0，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，设平面的法向量为，，，因为，即，令，，，所以，0，，，0，，0，，所以点到平面的距离．2．已知函数为常数，．（1）讨论函数的奇偶性；（2）当为偶函数时，若方程在，上有实根，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）函数的定义域为，又①当时，即时，可得即当时，函数为偶函数；②当时，即时，可得即当时，函数为奇函数．（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，即时，由题可得，令，则有，又，当且仅当时，等号成立根据对勾函数的性质可知，，即①此时的取值不存在；②此时，可得的取值为综上可得3．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设．（1）若，求的边长；（2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．【答案】（1）；（2）时取得最小值，即的边长最小值【详解】（1）设的边长为千米，由得，，中，，，为等边三角形，，故，即的边长为；（2）设的边长为千米，所以，，中，，，，由正弦定理得，，故，当时取得最小值，即的边长最小值．4．已知椭圆的方程为．（1）设，是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．【答案】（1）见解析；（2），；（3）【详解】（1）证明：当时，，直线线即直线，与椭圆只有一个公共点，当时，由，得，△，又，所以有△，从而方程组只有一组解，所以直线与椭圆有且只有一个公共点．（2）设，，，，则两条直线为，，又，是它们的交点，所以，，从而有，，，的坐标满足直线方程，所以直线的方程为，直线的方程为，由，得，，即，．（3）设，，当直线与有一条斜率不存在时，，，，当直线与有一条斜率存在时，设为和，由，得，所以△，整理得，，所以，是这个方程的两个根，所以，所以，所以点的轨迹方程为．5．对于至少有三项的实数列，若对任意的，都存在、（其中，，，，，使得成立，则称数列具有性质．（1）分别判断数列1，2，3，4和数列，0，1，2是否具有性质，请说明理由；（2）已知数列是公差为的等差数列，若，且数列和都具有性质，求公差的最小值；（3）已知数列（其中，，，试探求数列具有性质的充要条件．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）数列1，2，3，4不具有性质，理由如下：当时，，不存在、（其中，，，，，使得成立，所以数列1，2，3，4不具有性质，数列，0，1，2具有性质，理由如下：若，，，则满足，若，，，则满足，所以数列，0，1，2具有性质．（2）的公差为，，，，要使最小，，，，，，又，当时，，此时令的首项为，则数列和都具有性质，．（3）数列且具有性质，，，（充分性成立），又由可得，即（必要性成立），数列具有性质的充要条件是．