专题06+【大题限时练6】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题06 大题限时练61．在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【详解】证明：（1），，由于，所以，所以，且，由于为等边三角形，所以，，又，所以，所以，故，故平面．解：（2）过点作交于，连接，如图所示：由（1）得：平面，得到，由于，所以平面，故为直线与平面的夹角，由（1）知：，从而点为线段的中点，所以，，故．故直线与平面所成的角的大小为．2．设且，，已知函数，．（1）当时，求不等式的解；（2）若函数在区间，上有零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或【详解】（1）当时，不等式可化为，当时，则有，解得，所以不等式的解集为；当时，则有，解得，所以不等式的解集为．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，所以不等式的解集为．（2）函数，令，即，因为，，所以，，所以，，故，设，，则有，故或，解得或，故的取值范围为或．3．为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且．（1）当是的中点时，求的长；（精确到米）（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元平方米、50元平方米、20元平方米，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，求面积的最大值，并求此时扇形区域种植花卉的总成本．（精确到元）【答案】（1）115米；（2）元【详解】（1）扇形的半径为100米百米，当时的中点时，，，，在中，由余弦定理可得，，解得，所以是的中点时，的长约为115米；（2）在中，由正弦定理可得，，所以，所以的面积为，故当，即时，的面积最大为（百米，当时，，故扇形的面积为（百米，扇形的面积为（百米，所以区域的面积为，因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元平方米、50元平方米、20元平方米，所以此时扇形区域种植花卉的总成本为元．4．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的、两点．（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）见解析；（3）存在点使得以弦为直径的圆恒过点【详解】（1）设，，，，联立，得，所以，因为抛物线的方程为，所以抛物线的焦点，又直线过抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得．（2）证明：设直线的方程为，，，，，联立，得，所以，即，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以、、三点共线．（3）假设存在点，使以弦为直径的圆恒过点，设过点直线的方程为，联立，得，设，，，，则，，因为点总在以弦为直径的圆上，所以，所以，又，，，，所以，所以，当或，等式成立，当或，有，所以，则，即，所以当时，无论取何值等式都成立，将代入，得，所以存在点使得以弦为直径的圆恒过点．5．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”．（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值．【答案】（1）见解析；（2），且；（3）或【详解】（1）若数列具有“性质”，“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，所以，所以或1，故当或1时，各项均等于的常数列具有“性质”；当且时，各项均等于的常数列不具有“性质”．（2）对任意正整数，，，都存在正整数，使得，即，所以，令，则，当且时，，对任意正整数，，，由，得，所以，而是正整数，所以存在正整数，使得成立，数列具有“性质”；当且时，取，，则，正整数不存在，数列不具有“性质”，综上所述，，且．（3）因为，所以若对于任意的正整数，存在整数，使得成立，则，对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得，，若，显然不合题意，若，得，是整数，从而得到公差也是整数，当时，此数列是递减的等差数列，取满足的正整数，解得，由，所以不存在正整数使得成立，从而时，不具有“性质”；当时，数列2，3，4，，，，对任意的正整数，，，由，可得，可得，而是正整数，从而数列具有“性质”；当时，数列2，4，6，，，，对任意正整数，，由，可得，即，而是正整数，从而数列具有“性质”．综上可得，或．