专题08【大题限时练8】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题08 大题限时练81．如图，棱柱中，，底面，是棱的中点．（1）求证：直线与直线为异面直线；（2）求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：假设直线与直线共面，点，，平面，而过直线和直线外一点有且只有一个平面，平面，矛盾！假设不成立故直线与直线为异面直线．（2）解：如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，，设平面的一个法向量，则，取，，1，，，0，，，设直线与平面所成角所成角为，则，所以．2．已知，为实常数）（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在中有零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）当时，不等式，化简可得，所以，解得，所以不等式的解集为；（2）因为函数在中有零点，所以，有解，则，因为的取值范围是，，故的取值范围是．3．假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为，200，，上午10时07分测得飞行机器人在，80，处，并对飞行机器人发出指令：以速度米秒沿单位向量，，做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米秒，然后保持8米秒，再沿单位向量，，做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动，机器人近似看成一个点．（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离（精确到米）．【答案】（1），，；（2）73米【详解】（1）由已知可得机器人在10秒后到达点，则点的坐标为，80，，200，，在点原地盘旋2秒再移动8秒后到达的位置为：，200，，，，则从点出发20秒后飞行机器人的位置为，，；（2）当时，，在，单调递减，所以当时，，当时，，当时，，，，所以，当时，，所以在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离为73米．4．曲线与曲线在第一象限的交点为，曲线是是和组成的封闭图形，曲线与轴的左交点为、右交点为．（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由；（3）设过原点的直线与以，为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为，直线与曲线在第一象限的两个交点为、，当对任意直线恒成立，求的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）若曲线与曲线具有相同的一个焦点，则，解得，所以双曲线的方程为，椭圆的方程为，联立，解得，，因为在第一象限，所以的坐标为，，当时，直线的方程为，即，当时，直线的方程为，即．（2）在（1）的条件下，，当时，，椭圆中不存在点，不符合题意，当时，，所以是以为原点，半径为2的圆，即，联立，得，△，所以方程组有两组解，所以存在两个点，使得．（3）设圆，直线的方程为，联立，得，所以，，联立，得，所以，，因为，，，所以，所以，，所以，所以，所以，解得．5．已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①，1，，；②，．记数列的前项积为．（1）若，，，，求；（2）是否存在，，，，使得，，，成等差数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；（3）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）由得，，由得，，由得，，；（2）不存在．假设存在，设，，，公差为，若，则，，，公差，，矛盾；若，则，，，公差，，矛盾，假设不成立，故不存在；（3）由题意，，且，，，，设，，得，进一步得到，显然的值从大到小依次为，若，则，则，不可能；若，则或，则或，不可能；若，则，则，不可能；，当或取得，，，，，当，0，2，0，2，取得，又，．