专题11+【大题限时练11】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题11 大题限时练111．如图，设底面半径为2的圆锥顶点、底面中心依次为、，为其底面直径，点位于底面圆周上，且，异面直线与所成角的大小为．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）；（2）【详解】（1）设圆锥的高为，以为坐标原点，以、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，根据题设条件，，0，，，0，，，，，，2，，，，，2，，由异面直线与所成角的大小为，，解得，圆锥的体积为．（2）取的中点，连接，，由，得，由，得，即为二面角的平面角，圆锥的底面，，是直角三角形，在中，，，，，二面角的大小为．2．设函数的反函数为．（1）解方程：；（2）设是定义在上且以2为周期的奇函数，当时，，试求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为函数，故方程即为，所以，则有，解得，故的解为；（2）当时，，因为，且是定义在上且以2为周期的奇函数，故．3．在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完，设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求的值；（2）求年利润的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）．【答案】见解析【详解】（1）当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为，解得；（2）当，时，，对称轴方程为，则函数在，上为增函数，当时，万元；当，时，．当且仅当，即时取等号．即当年产量约为82.1吨时，年利润最大约为445.5万元．4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于不同的两点、．（1）若直线经过，求△的周长；（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）【详解】（1）因为椭圆，所以椭圆的长半轴长为，由椭圆的定义可得，，所以△的周长为；（2）当直线的斜率不存在时，直线，此时，，又，所以，所以符合题意；当直线的斜率存在时，设直线，设，，，，联立直线与，则有，所以，△，解得，因为，，所以，故，解得，故直线的方程为，综上所述，直线的方程为或；（3）①当直线的斜率不存在时，直线，若，，则，所以，此时；若，，则，所以，此时；②当直线的斜率存在时，设直线，设，，，，又，所以，因为，所以，故，由（1）可知，，所以，则，即，因为，故，，所以，因为，由，可得，即，所以，综上所述，实数的取值范围为．5．记实数、中的较大者为，，例如，，，，对于无穷数列，记，，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，说明理由；①；②；（2）设首项为1的等差数列的前项和为，公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有0．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）解：①因为，所以，，所以为正整数），所以，故①数列为“趋势递减数列”．②因为，所以，，所以为正整数），所以，故②数列不是“趋势递减数列”．（2）解：因为数列为“趋势递减数列”，所以，，，①若，则，即，所以，此时，，所以，故，满足条件；②若，则，且，所以，即，所以，所以，同理可以验证满足条件，综上所述，的取值范围为．（3）证明：先证明必要性：用反证法．假设存在正整数，使得，可令，则数列从项开始，以后的各项为，，0，，，，故，与是“趋势递减数列”矛盾，所以必要性成立．再证明充分性：由，得，，因为中的项没有0，所以对于任意正整数，，所以为正整数），所以，①当时，，，，②当时，，，，所以均有，所以充分性成立，故为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有0．