专题12+【大题限时练12】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题12 大题限时练121．如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为．（1）求圆锥的侧面积；（2）若为母线的中点，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】（1）；（2）【详解】（1）圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直母线与底面所成的角为．，圆锥的侧面积．（2）为母线的中点，，垂直圆所在的平面，圆所在的平面，，，，、平面，平面，平面，，，是二面角的平面角，在中，，，，二面角的大小为．2．已知函数，．（1）设，求函数的值域；（2）在中，角，，所对应的边为，，．若（A），，的面积为，求的值．【答案】（1），；（2）或【详解】（1），，因为，所以，故函数的值域，；（2）（A），所以或，因为，所以，当时，，所以，所以；当时，，故，所以，故或．3．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为，2，3，，米，，为对角线和的交点，他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于，设．（1）若两段圆弧组成“甬路” （宽度忽略不计），求的长；（结果精确到1米）（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为，对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．【答案】（1）36米；（2）见解析【详解】（1）平行四边形，，为对角线和的交点，，在△中，由正弦定理可得，，，又为圆心的圆弧过点和点，圆弧的半径，圆弧的长，同理可得圆弧的长也为，米．（2）由（1）可知，由扇形面积公式可得，在△中，由余弦定理可得，，即，，，又平行四边形的面积，，，此人的设计是“用心”的．4．已知曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点．（1）求△的周长；（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）或；（3），【详解】（1）因为曲线，所以，所以，，所以，所以，，由椭圆的定义可得，所以三角形△的周长为．（2）由上可知，，设圆的半径为，直线为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，①因为以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且到轴的距离为1，所以，②，由①②，解得，，所以直线的方程为或．（3）因为直线过点，且方向向量为，所以直线的方程为，设，，，，联立，得，所以，，所以，，因为，所以点是线段的垂直平分线与轴的交点，设线段的中点为，则，且，，即，，所以线段垂直平分线的方程为，令，得，所以，所以，，所以，在中，，解得，所以，．5．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，，2，3，，，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列．（1）已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．【答案】（1）见解析；（2），，；（3）见解析【详解】（1），若使数列为有界数列，则需使，由知，，则，，2，3，，，，则即可，则数列为有界变差数列．（2），则，当时，则，显然满足题意．当时，则，则，若，则，舍去．当时，则是首项为，公比为的等比数列，则，若时，，则符合题意．若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去．综上可得，的取值范围为，，．（3）证明：因为和为有界数列，则存在，使得对任意的，恒成立，则存在，使得对任意的，恒成立，，又因为和为单调递增的有界数列，，则，则，所以存在即可，则数列为有界变差数列．