专题15+【大题限时练15】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题15 大题限时练151．如图，，是两条互相垂直的笔直公路，半径的扇形是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧上新增一个入口（点不与，重合），并新建两条都与圆弧相切的笔直公路，，切点分别是，．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设，公路，的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值． 2．如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，是中点，是上的点．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．  3．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为．（1）求的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元，问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？         4．已知椭圆，过动点，的直线交轴于点，交于点、在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点．（1）求椭圆的焦距和短轴长；（2）设直线的斜率为，的斜率为，证明：为定值；（3）求直线倾斜角的最小值．  5．设数列满足，，，其中为实数（1）证明：，对任意成立的充分必要条件是，；（2）设，证明：，；（3）设，证明：．