专题18+【大题限时练18】-备战2022年上海高考数学满分限时题集

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专题18 大题限时练181．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为．（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点与平面的距离．【答案】（1）；（2）【详解】（1）平面，为与底面所成角，即，．以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，则，1，，，设异面直线与所成角的大小为，，则异面直线与所成角的大小为；（2）设平面的法向量为，由（1）知，，，由，取，得．又，点与平面的距离．2．已知函数，的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求周长的取值范围．【答案】（1）；（2），【详解】（1）根据函数的图象，函数的周期，故．由于点满足函数的图象，所以，由于，所以．由于点在函数的图象上，所以．故函数．（2）由于，所以．由正弦定理：，整理得，同理，由于，所以，由于，所以，所以．所以：，．3．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度（单位：摄氏度）与时间（单位：小时），近似地满足函数关系，其中为大棚内一天中保温时段的通风量．（1）当时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到；（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．【答案】（1）；（2）256【详解】（1）当时，，因为，所以函数在，上单调递减，当时，，综上，大棚一天中保温时段的最低温度约为；（2）令，在，恒成立，①当，时，，可得，因为函数在，上单调递增，所以当时，，所以，②当，时，，可得，当时，函数取得最大值为256，则，综上，，所以大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．4．如图，已知椭圆，左顶点为，经过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，，证明：对于任意的都有恒成立；（3）若过原点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）已知椭圆，左顶点为，经过点，，，椭圆方程为：．（2）设直线 的方程，，，，交轴于点，联立，得，，，的中点，，，，，，对于任意的都有恒成立．（3），的方程可设为：，由，得点横坐标为由，得当且仅当，即时取等号，当时，的最小值为．5．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1），，即，，，，．（2）证明：，，，，即，为有理数列，，，以上每一步可逆，即可证明．（3），，，或，，当时，，当时，．为有理数列，，，，为有理数列，为无理数列，，，．当时，．当时，，．