专题06 解析几何综合题-备战2022年上海高考数学模拟题分类汇编

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专题06 解析几何综合题-备战2022年上海高考数学模拟题分类汇编1．（2021年•黄浦区一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆．设椭圆的协同圆为圆为坐标系原点），试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于、两点，求的值；（3）设、是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程．                     2．（2021年•静安区一模）如图所示，定点到定直线的距离．动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍．设动点的轨迹是曲线．（1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性．并选择其一给予证明．（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：．                3．（2021年•金山区一模）已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点，切线、与圆分别相切于点、．（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；（2）若点的坐标为，且时，求的值；（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围．                       4．（2021年•松江区一模）已知椭圆的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线交椭圆于不同的两点和，（1）求椭圆的方程；（2）若直线经过点，且的面积为，求直线的方程；（3）若直线的方程为，点关于轴的对称点为，直线，分别与轴相交于、两点，求证：为定值．                 5．（2021年•闵行区一模）已知椭圆过点，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点、，与椭圆相交于两点、，各点互不重合，且满足，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的方程为，求的值；（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．                     6．（2021年•杨浦区一模）设，分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点．（1）若，求椭圆的方程；（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求△的面积．（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左、右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点．                7．（2021年•浦东新区一模）已知椭圆，、为的左、右焦点．（1）求椭圆的焦距；（2）点，为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点、，若面积为1，求直线的方程；（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，，椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．           8．（2021年•普陀区一模）双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限．（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标．      9．（2021年•虹口区一模）已知点、，直线（其中，，，点在直线上．（1）若、、是常数列，求的最小值；（2）若、、是成等差数列，且，求的最大值；（3）若、、是成等比数列，且，求的取值范围．                   10．（2021年•奉贤区一模）如图，曲线的方程是，其中、为曲线与轴的交点，点在点的左边，曲线与轴的交点为．已知，，，的面积为．（1）过点作斜率为的直线交曲线于、两点（异于点），点在第一象限，设点的横坐标为、的横坐标为，求证：是定值；（2）过点的直线与曲线有且仅有一个公共点，求直线的倾斜角范围；（3）过点作斜率为的直线交曲线于、两点（异于点），点在第一象限，当时，求成立时的值．                11．（2021年•嘉定区一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求线段的长；（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．                  12．（2021年•青浦区一模）已知动点到直线的距离比到点的距离大1．（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，、是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点，、是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点．                       13．（2021年•宝山区一模）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为上的一点．（1）若点的坐标为，，求△的面积；（2）若点的坐标为，且直线与交于两不同点、，求证：为定值，并求出该定值；（3）如图，设点的坐标为，过坐标原点作圆（其中为定值，，且的两条切线，分别交于点、，直线、的斜率分别记为、，如果为定值，试问：是否存在锐角，使得？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．         14．（2021年•长宁区一模）设抛物线的焦点为，直线经过且与交于、两点．（1）若，求的值；（2）设为坐标原点，直线与的准线交于点，求证：直线平行于轴．   15．（2021年•徐汇区一模）设椭圆的两个焦点分别为是、，是椭圆上任意一点，△的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆在轴负半轴上的顶点及椭圆右焦点作一直线交椭圆于另一点，求的大小（结果用反三角函数值表示）．            16．（2021年•崇明区一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；（3）求证：直线过定点．      17．（2021•虹口区二模）已知椭圆的方程为．（1）设，是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．                  18．（2021•杨浦区二模）焦点为的抛物线与圆交于，两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是曲线上一动点．（1）若在抛物线上且满足，求直线的斜率；（2）是轴上一定点．若动点在上满足的范围内运动时，恒成立，求的取值范围；（3）是曲线上另一动点，且满足，若的面积为4，求线段的长．                19．（2021•浦东新区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于不同的两点、．（1）若直线经过，求△的周长；（2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程；（3）若，求实数的取值范围．                       20．（2021•金山区二模）已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示．（1）若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由．             21．（2021•闵行区二模）如图，已知椭圆的左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的一点，直线，直线、分别交直线于两点、，线段的中点为．（1）设直线、的斜率分别为、，求的值；（2）设、的面积分别为、，如果，求直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得当直线、的斜率、存在时，为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．                22．（2021•普陀区二模）已知曲线的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点．（1）求△的周长；（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．                 23．（2021•徐汇区二模）已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于、两点，与线段交于点（异于、．（1）当且时，求直线的方程；（2）当时，求四边形面积的取值范围；（3）记直线、、、的斜率依次为、、、当且线段的中点在直线上时，计算的值，并证明：．                     24．（2021•长宁区二模）设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求点纵坐标的值；（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为．若、、三点共线，求证：为定值．                       25．（2021•黄浦区二模）椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为、，，为椭圆上的任一点．（1）试写出向量、的坐标（用含、、的字母表示）；（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数、的值；（3）在满足（2）的条件下，若直线与椭圆交于、两点、与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标．                      26．（2021•宝山区二模）设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过上的点作圆的两条切线切点为、，直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、，试求△的面积的最小值；（3）过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在，使得成立？请说明理由．                   27．（2021•奉贤区二模）曲线与曲线在第一象限的交点为，曲线是是和组成的封闭图形，曲线与轴的左交点为、右交点为．（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由；（3）设过原点的直线与以，为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为，直线与曲线在第一象限的两个交点为、，当对任意直线恒成立，求的值．               28．（2021•松江区二模）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的、两点．（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．                        29．（2021•嘉定区二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．（1）求抛物线的方程；（2）若，求点的坐标；（3）过点，作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．                  30．（2021•崇明区二模）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线上一点．（1）当时，求双曲线两条渐近线的夹角；（2）若直线的倾斜角为，与双曲线的另一交点为，且，求的值；（3）若，且，点是双曲线上位于第一象限的动点，求证：．