专题05 指对幂比较大小-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

这是一份专题05 指对幂比较大小-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用），文件包含专题05指对幂比较大小解析版docx、专题05指对幂比较大小原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
专题05 指对幂比较大小
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数与指数函数的性质，即可得到答案；
【详解】
因为，，所以，，排除A，C.
又因为即，所以，故，
故选：D.
2．已知函数，若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
确定函数的单调性，再根据对数函数、指数函数性质比较的大小后可得结论．
【详解】
是增函数，是减函数，因此在是增函数，且此时．
在时是增函数，所以在定义域内是增函数．
，
，，
即，所以．
故选：A．
3．已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【详解】
解：，
是奇函数，
，
，，
则，
当时，是增函数，
，
即，
故选：C．
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性分析，，的范围即可比较大小.
【详解】
因为是减函数，所以，
因为在单调递增，所以，
因为在单调递减，所以，
所以，
故选：D.
5．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数和对数函数单调性判断
【详解】
因为，且函数在R上为减函数，所以，即．又，所以，
故选：D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
因为，，，所以.
故选：D.
7．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性即可求解.
【详解】
解：，，
，故，
故选:B.
8．设，，，则，，的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】
因为，，，
所以，，的大小是，
故选：C
9．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数及对数函数的性质判断即可；
【详解】
解：因为，在上单调递增，所以，所以；
因为，即，所以；
故选：A
10．设函数为定义在上的函数，对都有：，；又函数对，，，有成立，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件得函数为偶函数、周期为2，在上单调递增，结合性质化简可得，，最后根据单调性得结果.
【详解】
∵，，
∴，
又∵对，，，有成立，
∴函数为偶函数、周期为2，在上单调递增，
所以，，
因为，其中，所以.
由函数在上单调递增，可知，
故选：B.
11．已知且，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，进而利用导数研究的单调性，再结合函数单调性与题意，比较的大小关系
【详解】
解：由题意，令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
因为，，故，即，所以．
同理由，，得，．
因为，
所以，所以.
故选：A．
12．若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.
【详解】
因为，其中，
所以，，，且，，
所以，，即，故A错误；
，，即，故B错误；
，，因为，所以，
即，即，故C错误；
，，即，故D正确.
故选：D.
13．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
14．已知、、，且、、，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题首先可将题中条件转化为、、，然后设，通过导函数求出的单调性，则、、，最后通过即可得出结果.
【详解】
即，即，即，
设，则，，，
，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
因为、、，所以、、
因为，所以，，
故选：C.
15．设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质，比较的大小即可.
【详解】
由，即，
又，可得，即，
∴.
故选：D.
16．已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.
【详解】
，，同理
又，
又，，，
，即，，，
故选：B
17．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
通过构造函数，同除以6可变形得，利用导数研究增减性，即可判断大小.
【详解】
，，，令，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，，，，，∴，
故选：A．
18．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题中a，b，c的形式构造函数，利用二次求导的方法判断函数的单调性，根据单调性即可比较大小.
【详解】
因为，，，
所以令，则，
令，则，
∴在上单调递减，，
∴恒成立，∴在上单调递减．
∵，∴，
即，所以，
所以，即，
故选：D．
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，借助中间量比较大小即可.
【详解】
解：因为，
，
，所以.
故选：C.
20．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可判断出，在比较的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，由于，即比较小于，把与同时五次方即可比较出大小.
【详解】
，，，，故.
故选：B.
21．已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（　　）
A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m
【答案】C
【分析】
根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝，即知m，n，p的大小关系.
【详解】
由题意得，m＝log4ππ，
，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，
∴，
∴，而p＝，
∴n＜m＜p．
故选：C．
22．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用对数函数的单调性比较对数式的大小．
【详解】
∵，，
∴比较，，的大小关系即可．
1、当时，，，故，，故，．
2、令，则，．
由，即，则．
综上，.
故选：D．
23．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用导函数研究其单调性，进而比较出a，b，c的大小关系
【详解】
，令，，
令，，∴在上单调递减，，
∴恒成立，∴在上单调递减.∵，
∴，即，则，即.
故选：D.
24．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a
【答案】D
【分析】
先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】
.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.
故选：D.
【点睛】
对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.

二、多选题
25．已知实数，满足,则下列关系式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
因为，所以.
A：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立；
B：在上是增函数，故，故本关系恒成立；
C: 当时，显然符合，但是没有意义，故本关系式不恒成立；
D：因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了指数函数、正弦函数、幂函数的单调性应用，属于基础题.
26．下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
选项A，利用对数运算对不等式两边的式子进行化简，然后利用对数函数的单调性即可得解；选项BD，构造函数，然后求导，利用函数的单调性即可得解；选项C，作差，然后利用基本不等式即可得解．
【详解】
，，因为，所以，选项A错误；
构造函数，则，易知函数在上单调递增，在上单调道减，所以，，可得，，选项BD正确；
，因为，所以，选项C正确．
故选：BCD
27．已知，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
由对数函数性质可知，为单调减函数，可判定A正确；由基本不等式，可判定B错误；由指数函数和幂函数性质，可判定C错误；令的单调性，可判定D正确．
【详解】
对于A中，由，且，可得，，
由对数函数性质可知，为单调减函数，
因为，，，所以，所以A正确；
对于B中，由，，
可得，
当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；
对于C中，由，，
因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，
所以，所以C正确；
对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．
故选：ACD．
28．已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
根据题目所给不等式判断的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项.
【详解】
，，则，
，A正确；
，，当且仅当时取等号，
又，，B正确；
，，，C错误；
取时，，此时，D错误.
故选：AB
29．已知函数，若，且，则下列不等式成立得有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，结合函数解析式可得，可判断选项A；由结合均值不等式可判断选项B、C ; 由可得，可得可判断选项D.
【详解】
选项A. 由，即，也即
由，则，所以，即，故选项A正确.
选项B. 由选项A的推导可得，所以
当且仅当，即时取得等号，当时，由，可得与条件矛盾.
所以，故B正确.
选项C. ,当且仅当,即时，等号成立， 故C正确.
选项D. 由，则，则
由，则，则，所以，故D不正确.
故选：ABC
30．、为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用指数函数的单调性可判断B项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
因为、为实数且.
对于A选项，，即，A选项错误；
对于B选项，由已知可得，所以，，B选项正确；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，但，所以，，C选项正确；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，但，所以，，则，D选项正确.
故选：BCD.
31．已知，，下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
利用指数函数的单调性可判断A选项正误，利用对数函数的单调性可判断C选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数为上的减函数，由，可得，A选项正确；
对于B选项，取，则，B选项错误；
对于C选项，函数为上的增函数，因为，则，
则，C选项错误；
对于D选项，由基本不等式可得，
所以，，即，
因为，所以，，D选项正确.
故选：AD.
32．已知实数，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由题意，可表示为函数，，分别与函数交点的横坐标，作出函数图像，数形结合可得的大小关系；对左右两边取对化简得，同理可得，，然后结合函数的单调性判断大小.
【详解】
由题意，可表示为函数，，分别与函数交点的横坐标，分别作出函数图像，由图可知，，故B正确；因为，左右两边取对可得，即，同理可得，，因为函数在上为增函数，且，所以，即，故D正确.
故选：BD

【点睛】
在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确，如果不同底也不同指数时，可以考虑图像法或者取对数两两比较的方法比较大小.
33．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.
【详解】
因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
34．若正实数a，b满足且，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
由已知不等式，求出 之间的关系，结合选项一一判断即可．
【详解】
由有 或 ，
对于选项A，当或都有 ，选项A错误；
对于选项B，比如当 时，有
故不成立，选项B错误；
对于C，因为，所以 ，则 ，选项C正确；
对于选项D，因为，所以，选项D 正确，
故选：CD．
【点睛】
思路点睛：由已知不等式，求出 之间的关系，而对于四个选项真假的判断，如果是假命题，可以举出特例，是真命题，要进行证明．
35．若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断ABD选项的正误；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断C选项的正误.
【详解】
令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，，所以，
所以，A正确；
同理，所以，
所以，B错误；
令，，
则，故在上单调递减，
，所以，故，D正确；
对于C，，结合选项A的讨论，与的大小不确定，故C不一定成立.
故选：AD.
【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
36．若实数x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
对于A：利用反比例函数的单调性可判断；
对于B：由于不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，由此可判断；
对于C：假设成立，两边平方化简整理得完全平方式，可判断；
对于D：令函数，求导，分析其导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可判断.
【详解】
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，故B不正确；
对于C：假设成立，则，化简得在恒成立，故C正确；
对于D：令函数，则，又，所以，所以函数 在上单调递增，
又，所以，所以，即，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：比较代数式的大小关系可运用：1、不等式的性质；2、作差比较法；3、假设不等式成立，运用分析法得出恒成立的不等式；4、构造合适的函数，运用导函数分析函数的单调性可得出大小关系.
37．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
A．根据已知条件先分析函数的单调性，然后比较出的大小；
B．取，进行判断即可；
C．取，进行判断即可；
D．根据指数函数的单调性以及的大小关系进行判断.
【详解】
A．设，
因为可化为，则，
根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，
因此在上单调递增，所以，故正确；
B．由A项得，当，时，，，此时，故错误；
C．由A项得，当，时，，故错误；
D．因为在上是减函数，由，可得，即，故正确；
故选：AD.

三、填空题
38．已知函数，若，则从小到大排序为_______.
【答案】
【分析】
直接代入计算简单判断即可.
【详解】
由题可知：
由函数在定义域中是单调递增的，所以
故答案为：
39．已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为______．（用符号“”连接）
【答案】．
【分析】
转化条件为函数在上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得，即可得解.
【详解】
因为，
所以，
所以函数在上单调递减，
因为函数满足，所以
因为即，所以，
又，，
所以，
所以即.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的大小比较.
40．已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①；② ；③；④；⑤．
【答案】④⑤.
【分析】
根据对数函数单调性先分析出的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】
因为且不为，由对数函数的单调性可知，
①当时，，所以，故①不一定成立；
②因为，由指数函数的单调性可知,故②不成立；
③当时，，所以，故③不一定成立；
④因为，所以，故④一定成立；
⑤因为，所以，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
41．已知，，设，，，则a，b，c的大小关系是______.（用“＜”连接）
【答案】
【分析】
利用作商法结合基本不等式可比较的大小，利用对数式与指数式的互化求得，再根据，，分别与比较，从而可得出答案.
【详解】
解：由题意，知.
因为，
所以，
由，得；由，得，
所以，可得，
由，得；由，得，
所以，可得，
综上所述，a，b，c的大小关系是.
故答案为：.