专题07 解三角形-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题07 解三角形
一、单选题
1．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，的面积为，则b=（ ）
A． B．
C． D．
3．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组


①和；②和；③和
A．0 B．1
C．2 D．3
4．在中，内角的对边分别为，且，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B．（1，2）
C． D．
6．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）

A． B．
C． D．
8．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的取值不可能为（ ）
A．3 B．4
C． D．
9．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．中角，，所对的边分别为，，，，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即， 现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A． B．
C． D．12
12．在中，角，，的对边分别为，，，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
13．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）

A． B．
C． D．
14．如图，在中，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
15．中，，，，则边上的高为（ ）
A． B．
C． D．
16．在中，角所对的边分别为，满足，则（ ）
A． B．
C． D．3
17．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．2 B．
C． D．1
18．已知的三个内角、、满足，则（ ）
A． B．
C． D．
19．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）．
A． B．
C．10 D．12
20．锐角中，内角的对边分别为，，，若，则的面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．的三内角所对的边分别是，下列条件中能构成且形状唯一确定的是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知的外接圆半径为2，内切圆半径为1，，则的面积为（ ）
A． B．
C．4或 D．或
23．已知在中，，则的面积是（ ）
A． B．40
C． D．20
24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于（ ）
A． B．
C． D．
25．在中，，，分别为，，所对的边，若函数有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．在中，，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
27．在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（ ）
A． B．
C． D．
28．已知在中，角的对边分别为则边上的高为（ ）
A．1 B． C． D．2
29．在中，，，，平分交于点则线段的长为（ ）
A． B．
C． D．
30．在中角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
31．已知的内角，，所对的边分别为，，，且.若，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．已知的内角，，所对的边分别为，，，若且内切圆面积为，则面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
34．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（ ）

A．69 B．40 C．35 D．23
35．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（ ）

A． B． C． D．
36．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（ ）
A． B．
C． D．
37．已知中，角所对的边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B．
C．1 D．
38．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．26光年 B．16光年
C．12光年 D．5光年
39．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
40．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（ ）

A．40米 B．56米
C．65米 D．113米
41．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（ ）

A． B．
C． D．
42．在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（ ）
A．2019 B．2020
C．2021 D．2022
43．在△ABC中，，的角平分线AD的长为数列的首项与第三项的等比中项，则（ ）
A．2 B．3
C． D．

二、多选题
44．对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D．若三角形ABC为斜三角形，则
45．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（ ）
A． B．
C． D．
46．内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
47．中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（ ）
A．；
B．；
C．
D．，
48．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）

A． B．
C． D．
49．已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．
C．角的最大值为
D．角的最大值为
50．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A．周长为
B．三个内角A，C，B满足关系
C．外接圆半径为
D．中线CD的长为
51．在中，角所对的边分别为，则能确定为钝角的是（ ）
A．
B．均为锐角，且
C．均为锐角，且
D．
52．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形且，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
53．已知中，角的对边分别为，且满足，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．若则
C．若则顶点所在曲线的离心率为
D．若，则
54．在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．的最大值为
C． D．角的最小值为
55．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）

A． B．
C． D．
56．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等边三角形
B．若，则是等边三角形
C．若，则是等边三角形
D．若，则是等边三角形

三、填空题
57．已知的内角，，C的对边分别为且，，，且，若，则的取值范围是__________．
58．在中，角，，的对边分别为，，，若，，且的面积为，则b =___________.
59．已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．若，，△ABC的面积为，则△ABC的外接圆的半径为________．
60．中，内角，，的对边分别为，，，若面积为，，且，则________．
61．在中，角所对的边分别为，当时，若不等式恒成立，则的取值范围为___________.
62．如图，无人机在离地面的高的A处，观测到山顶M处的仰角为，山脚C处的俯角为，已知，则山的高度为___________.

63．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，边上的高为，则的最大值为__________
64．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若为的面积，则当取得最小值时，的值为______.
65．已知的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则内角A的大小是___________
66．在中，若，，BC边上的中线AD的长为3.5，则______________.
67．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.

68．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的最大值为___________.
69．在中，三边a､b､c所对的三个内角分别为A､B､C，若，，，则边长___________.
70．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是______．

71．在三角形ABC中，已知角A=，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2．则AB+AC的最小值为________．
72．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积的最大值为___________.

四、解答题
73．已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
74．在①的周长为6，②，③这三个条件中任选一个，补充在下画问题中.若问题中的三角形存在，判断的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且成等差数列，，___________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
75．落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.
76．在①；②；③中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
77．如图，在中，角所对的边分别为，已知，点为边上的点，且.

（1）求的面积.
（2）求线段的长.
78．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）证明：是等腰三角形；
（2）若的面积为，且，求的周长．
79．从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）若且，求的值；
（2）若D是线段AC上的一点，，___________，求BD的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
80．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若角A为钝角，△ABC的面积为S，求的最大值.
81．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，并解答.是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
82．如图，在中，，，分别是角，，所对的边且是三个连续的正整数，其中，．

（1）求；
（2）将线段绕点顺时针旋转到，且，求的面积．
83．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）若D为AC边上一点，，，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
84．在中，已知角所对的边分别是，且.
（1）求和角的值；
（2）求的面积.
85．在中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，求的中线长度的最小值.
86．如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，满足，，，．

（1）求的大小；
（2）求的最大值．
87．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，____．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4，的面积，求的周长．
88．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知.
条件①：；
条件②：.
（1）求b的值；
（2）求的面积.
89．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
已知点在内，，若___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
90．已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求的周长.
91．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足①；②；③．
（1）从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
（2）若为线段上一点，且，，求的面积．
92．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，．
（1）证明：；
（2）若为线段上一点，且，，求的面积．
93．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，且.
（1）求；
（2）若△ABC的面积为，求边长a.
94．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
95．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若内一点满足：，，且，求.
96．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，．
（1）求a；
（2）若，求A．
97．在中，a，b，c分别为角A､B､C的对边，.
（1）求A；
（2）若角A的平分线AD交BC于D，且BD=2DC，，求a.
98．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

（1）求小岛A到小岛C的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
99．已知中，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
100．△中，，，，点，是线段上两点（包括端点），.

（1）当时，求△的周长；
（2）设，当△的面积为时，求的值.