专题09 立体几何综合小题-备战2022年新高考数学必考点提分精练（新高考地区专用）

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专题09 立体几何综合小题
一、单选题
1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A． B．3 C． D．
2．如图所示，已知空间四边形，与所成角为，且，､分别为､的中点，则（ ）

A．1 B． C．1或 D．2或
3．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若该正四棱锥所有顶点都在同一个球的球面上，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
4．如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（ ）


A． B． C． D．
5．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．在棱长为2的正方体中，E为底面正方形对角线的交点，P为棱上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（ ）
A．平面 B．
C．当平面时，P为的中点 D．的取值范围为
7．在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B为球O的球面上两点，，过弦AB作球的两个截面分别为圆与圆，且是边长为的等边三角形，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在长方体中，和与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（ ）

A． B． C． D．
11．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（ ）
A．16 B．8 C．32 D．24
12．如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ）

A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
13．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为，球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆的周长为.已知球冠的表面积公式为，若，则球冠所在球的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
14．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得
④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，已知三棱锥A-BCD的截面MNPQ平行于对棱AC，BD，且，其中m，n∈（0，+∞）.有下列命题：

①对于任意的m，n，都有截面MNPQ是平行四边形；
②当AC⊥BD时，对任意的m，都存在n，使得截面MNPQ是正方形；
③当m=1时，截面MNPQ的周长与n无关；
④当AC⊥BD，且AC=BD=2时，截面MNPQ的面积的最大值为1.
其中假命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知正方体的外接球表面积为12，点E在线段上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
19．在四面体中，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
20．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
23．地球静止同步通信卫星是当今信息时代的大量信息传递主要实现工具，例如我国航天事业的重要成果“北斗三号全球卫星导航系统”，它为全球用户提供了全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务，是国家重要空间基础设施．地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．设球面半径为R，球冠的高为h，则球冠的表面积为．已知一颗地球静止同步通信卫星的信号覆盖面积与地球表面积之比为m，则它距地球表面的最近距离与地球半径之比为（ ）
A． B． C． D．
24．已知正方体的棱长为2，点E，F在平面内，若，，则下列选项中错误的是（ ）

A．点E的轨迹是圆的一部分 B．点F的轨迹是一条线段
C．的最小值为 D．与平面所成角的正弦值的最大值为
25．已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
26．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为棱上一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
28．在正方体中，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
29．如图，AB，CD分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥的体积为，则该圆柱的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
30．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
31．“中国天眼”位于我国贵州省，是世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为，球冠所在球的半径为.已知球冠表面积公式为，当时，的值为（ ）

A．6500 B．650 C．2500 D．250
32．如图正方体，中，点、分别是、的中点，为正方形的中心，则（ ）

A．直线与是异面直线 B．直线与是相交直线
C．直线与互相垂直 D．直线与所成角的余弦值为
33．如图在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
34．如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦， 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B．
C． D．
35．半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ ）
A． B． C． D．
36．已知四面体中，，，，则以点为球心，以为半径的球被平面截得的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
37．已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
38．已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
39．正方体中，为的中点，，下列说法正确的是（ ）

A．
B．三棱锥与剩余部分的体积比为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．平面截正方体内切球的截面面积为
40．如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（ ）

A．平面平面 B．
C．直线与平面所成的角为60° D．四面体的外接球的表面积为
41．如图，在正方体中，点E，F分别为，BC的中点，设过点E，F，的平面为，则下列说法正确的是（ ）

A．为等边三角形；
B．平面交正方体的截面为五边形；
C．在正方体中，存在棱与平面平行；
D．在正方体中，不存在棱与平面垂直；
42．正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B．与底面所成的角为
C．与底面所成的角为
D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
43．已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，点在面内(包含边界)，且，则( )
A．点的轨迹的长度为
B．存在，使得
C．直线与平面所成角的正弦值最大为
D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为
44．如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（ ）

A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
45．如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
46．正方体的棱长为6，M､N为底面内两点，，异面直线与所成角为30°，则正确的是（ ）
A．
B．直线与为异面直线
C．线段长度最小值为
D．三棱锥的体积可能取值为12
47．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则( )

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等
48．如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题不正确的有（ ）

A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
49．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是（ ）

A．直线DB1与平面AEF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．三棱锥A1−AEF的体积等于
50．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）

A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．点与不重合时，平面平面
51．在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，，，，则（ ）
A．当时，存在点F使得
B．当时，三棱锥A-CEF的体积为定值
C．当时，存在点使得⊥平面AEF
D．当时，直线EF与平面BCD所成角的正切值最大为
52．四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（ ）

A．平面平面
B．四棱锥外接球的半径为
C．三点到平面的距离相等
D．平面截球所得的截面面积为
53．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体的体积
54．在正三棱柱中，D，E，F分别为，，的中点，，M为BD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．AF，BE为异面直线
B．平面ADF
C．若，则
D．若，则直线与平面所成的角为45°
55．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，是棱上的一点，则（ ）
A．直线始终与直线垂直
B．存在点，使得直线与平面平行
C．当是棱的中点时，直线与所成角的余弦值为
D．当是棱的中点时，点与点到平面的距离相等
56．已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（ ）
A．碳原子与氢原子之间的距离为
B．正四面体外接球的体积为
C．正四面体的体积为
D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为
57．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）

A．若P为正方体表面上一点，则满足的面积为的点有12个
B．动点F的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点F的运动而变化的
D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为
58．如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（ ）

A．
B．
C．平面平面
D．被球截得的弦长为1
59．在矩形中（如图1），，.将沿折起得到以为顶点的锥体（如图2），若记侧棱的中点为，则以下判断正确的是（ ）

A．若，则的长度为定值
B．若，则三棱锥的外接球表面积为
C．若记与平面所成的角为，则的最大值为
D．若二面角为直二面角，且，则
60．如图所示，圆柱OO1内有一个棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是（ ）


A．△面积的最小值为
B．圆柱OO1的侧面积为
C．异面直线AD1与C1D所成的角为
D．四面体A1BC1D的外接球的表面积为
61．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．棱上一定存在点，使得
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．过点作正方体的截面，则截面面积为
D．设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为
62．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
63．已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）

A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
64．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为一个阳马，其中平面，，，，均为垂足，则（ ）

A．四棱锥的外接球直径为
B．三棱锥的外接球体积大于三棱锥的外接球体积
C．七点在同一个球面上
D．平面平面
65．在正方体中，分别为的中点，若过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面图形为三角形，则直线可以是（ ）
A． B．CE C． D．
66．已知正三棱柱的外接球的表面积为，球心为，则（ ）
A．
B．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36
C．该三棱柱侧面积的最大值为12
D．三棱锥的体积是该三棱柱的体积的
67．钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）

A．若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B．若，则该几何体的表面积为
C．该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D．若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
68．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则（ ）

A．当时，
B．直线与平面所成角的最大值大于
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D．四面体的体积为定值
69．在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．设，且，分别在线段与上，则的最小值为1
D．设点在平面内，且平面，则与平面所成角的正弦值的最大值为
70．已知正方体的棱长为1，O是底面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．O到平面的距离为
B．直线OB与平面所成角的正切值为
C．异面直线与BO所成角的大小为
D．若点M是平面内的一点且，则的最小值为
71．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）


A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．当直线与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
三、填空题
72．在一个棱长为的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.
73．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：

①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．
其中所有正确结论的序号是____________．
74．在正方体中，，点，分是棱，的中点，有下列命题：
①平面平面；
②平面截正方体所得截面的面积为；
③直线与平面所成角的正弦值为；
④若点是线段上的一个动点，则三棱锥的体积为定值.
其中正确的选项是___________.
75．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．在如图所示的堑堵中，已知，，若阳马的侧棱，则鳖臑中，点C到平面的距离为________．

76．已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为___________.
77．三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的表面积___________.
78．在三棱锥中，已知，，分别为，的中点，若三棱锥的外接球球心在三棱锥内部，则线段长度的取值范围为______．
79．已知在四棱锥中，底面，且底面是等腰梯形，．若，，，则四棱锥P外接球的体积为______．
80．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为1，则该截角四面体的外接球表面积为______.
81．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，，三棱锥体积的最大值为，则当的面积最大时，线段的长度为______.

82．已知正方形ABCD的边长为2，AB中点为E，现将与分别沿ED，EC向上翻折，使A，B重合于O点，则三棱锥等外接球的表面积______．
83．在平行四边形中，∠A=45°,AB=2AD=2，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为___________.
84．已知水平放置的边长为的等边三角形ABC，其所在平面的上方有一动点P满足两个条件：①三棱锥P-ABC的体积为；②三棱锥P-ABC的外接球球心到底面ABC的距离为2，则动点P的轨迹长度为___________.
85．如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4，是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为___________.

86．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）

①正方体的外接球表面积为48π；②异面直线与所成角的取值范围是π3,π2；③直线平面；④三棱锥D1-AMC的体积随着点的运动而变化.
87．菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，将△CBD沿BD折起，点变为E点，当四面体E-ABD的体积最大时，四面体E-ABD的外接球的表面积为___________.
88．三棱锥P-ABC中，是边长为的等边三角形，AB=BC=2，平面PAC⊥平面，则该三棱锥的外接球的体积为______
89．如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．

①A1P⊥BC1； ②三棱锥M-B1NP的体积随P点位置的变化而变化；
③PD1+PC1的最小值为； ④的取值范围是π3,2π3．
90．已知正方体的棱长为3，点分别是棱AB,AD,AA1上靠近点的三等分点，若以△EFG为底面的正三棱柱的其它顶点均在正方体的表面上，则此正三棱柱的外接球的表面积为__________.
91．已知点O是正三棱锥内切球的球心，记三棱锥的体积为，△POA绕直线PO旋转一周所得几何体的体积为，若三棱锥的表面积为12，则V2V1的取值范围是______．
92．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB=2AP，三棱锥P-ABC体积的最大值为，则当△PBC的面积最大时，线段AC的长度为__________．

93．已知三棱柱中，AB=AC=1，AA1=2，∠A1AC=∠A1AB=60°，∠BAC=90°，则四面体A1BB1C1的体积为______．
94．已知正三棱锥的底面边长为，，，分别是棱，，的中点，若△PQR是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．
95．已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则以下结论正确的是______．（写出所有正确结论的编号）


①△AEF是正三角形；
②平面AEF⊥平面CGH；
③直线CG与平面所成角的正切值为：
④当时，多面体ABCD-EFGH的体积为．