专题12+立体几何综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

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专题12 立体几何综合题
1．（2021•广州一模）在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图，将沿折起到△的位置，连接，，得到四棱锥（如图．
（1）证明：平面平面；
（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：菱形，且，
为等边三角形，
为的中点，，
，，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．

（2）解：由（1）知，平面平面，
，平面平面，
平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，0，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
2．（2021•深圳一模）如图，在四棱锥中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】在四棱锥中，，，，．
（1）证明：取中点，连接、、，
又因为，所以，
因为，所以，
又因为，，所以，
所以，所以，
又因，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，
又因为，所以，
于是、、、四点共圆，所以，
因为，，由勾股定理得，
因为，，由勾股定理得，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，6，，，0，，，3，，，3，，
，3，，，6，，，0，，
设平面与平面的法向量分别为，，，，，，
，令，，0，，
，令，，4，，
又因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．

3．（2021•广州模拟）如图，平面平面，，，，为上一点，且
平面．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角为，求．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面．
（2）设，由（1）知平面，平面，
所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，
，1，，，0，，
设平面的法向量为，，，
，令，，，，
平面法向量为，0，，
因为平面与平面所成锐二面角为，
所以，解得．
故．

4．（2021•福田区校级二模）在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1），，，，
为直角三角形，且，
同理，，，，
为直角三角形，且，
又四边形是正方形，，
又，．
在梯形中，过点作作于，
四边形是正方形，．
在中，，．，
，，．
，，．平面，平面．
平面，
又平面，，
因为，平面，平面．
平面，平面，平面平面．
解：（2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，0，，，0，，，1，，，2，．令，，，
则，，，，2，，
，，，，2，，
，，．，1，，，
平面，，1，是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，，．
则．令，得，1，，
，
二面角的平面角的余弦值为．

5．（2021•广东一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，，
平面，
平面，，
在直角梯形中，，
，
，，，即，
又，、平面，
平面．
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，
，0，，，1，，，4，，
设，，，则，0，
，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
与平面所成角的正弦值为，
，，
化简得，解得，
故线段上存在点满足题意，且．

6．（2021•惠州一模）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．
（1）求证：平面平面；
（2）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：是圆的切线，，
由圆锥的性质知，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
，
，，，
又，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2）解：，且为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，，
为二面角的平面角，即，
，
在中，，，
，
四棱锥的体积．
7．（2021•深圳模拟）如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图所示，分别取，的中点，，连结，，，
则有是梯形的中位线，故，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，同理可证是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于的直线为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．


8．（2021•广东二模）如图，是半圆的直径，是半圆上异于，的一点，点在线段上，满足，且，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：是半圆的直径，是半圆上异于，的一点，
故，，，，，
，，，
，，，
，
平面，平面，
；
（2）以为原点，，所在直线分别为轴，轴，
过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图示：

则：，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，
则，1，，，1，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，则，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，得，，，，，
，，
结合图像，二面角的余弦值为．
9．（2021•潮州一模）如图，在三棱柱中，，在底面上的射影恰为点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为在底面上的射影恰为点，所以平面，
所以，因为，
又因为，平面，平面，
所以平面，平面，所以平面平面．
（2）解：因为，，所以，
因为平面，所以，
所以平面，所以，，
所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
又因为，，所以，
所以，
故二面角的大小为．
10．（2021•珠海一模）如图，三棱锥中，，，，，点是的中点，点是的中点，点在上且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接交于，为重心，，
连接，因为，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：因为，，，所以，
所以，又因为，，所以平面，
,
过作于，连接，因为，所以平面，
所以，
直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正切值为．

11．（2021•佛山二模）如图1，在梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，如图2所示．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，连结，，，与交于点，
由题意可知，，，，
所以四边形为正方形，且，
在空间图形中，则有，，且，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）解：设，则，
所以，，
在中，则有，则，
由（1）可知，，，故，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，，，
所以，
故平面与平面所成二面角的余弦值为，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．

12．（2021•湛江三模）如图，三棱柱中，，，，分别是和的中点，点在棱上，且．
（1）证明：平面；
（2）若底面，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结，交于点，连结，，，
因为，分别为，的中点，故且，
故，又，，故，
所以，又平面，平面，
故平面；
（2）解：由题意可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则
所以，
，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．


13．（2021•汕头一模）如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，，．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结，在圆柱中，因为，，且，，平面，
所以平面，又平面，所以，
在中，为的中点，所以；
（2）解：连结，过作，
平面平面，平面，所以平面，
连结，则为与平面所成的角，
在中，，
由等面积法可得，解得，
所以，
化简可得，因为，所以，
所以，
取的中点，连结，，
则，，
所以为二面角的平面角，
因为，所以，
故，
所以二面角平面角的余弦值为．


14．（2021•惠州模拟）已知边长为3的正方体（如图），现用一个平面截该正方体，平面与棱、、分别交于点、、．若，，．
（1）求面与面所成锐二面角的余弦值；
（2）在图中作出截面与正方体各面的交线，用字母标识出交线与棱的交点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）在上取点，使，连接、，
连接、交于，交于，
因为，，所以，
又因为，，
所以，，，
所以，所以、、、都在平面上，
连接、交于，连接交于，
因为为正方体，平面，从而，
平面，，
所平面，所以，，
所以为平面与平面所二面角的平面角，设其大小为，
，，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（2）由（1）延长交于，连接、，
，于是，
故平面与正方体截面为五边形，其中位置，．

15．（2021•潮州二模）如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，
面，且，在棱上，且，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，交于，
取中点，连接，
因为面，所以，，
又因为底面是菱形，，所以，
所以两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，
，，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
，令，，1，，
因为，所以平面．
（2）解：由（1）知平面的法向量为，1，，
平面的法向量为，0，，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．

16．（2021•肇庆二模）如图，在四边形中，，，，．沿将翻折到的位置，使得．
（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；
（2）点是棱上异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为时，求此时三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）如图，延长，相交于，连接，则为平面与平面的交线
证明：在中，，，，则，，
由，，，得平面，
又，平面，则，
由，，，得，
，可得，
又，平面，
即平面；
（2）由（1）知，，，．
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，设，则，，，
，
设是平面的一个法向量，
则，取，可得，
是平面的一个法向量，
由，
解得，点是的中点，
．

17．（2021•广州二模）如图，三棱柱的侧面是菱形，．
（1）求证：平面；
（2）若，，且二面角为直二面角，求三棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：设与交于，连接，
因为是菱形，所以为中点，，
又因为，，所以，
所以，所以，
又因为，，所以平面．
（2）解：过作于，连接、，
由（1）知，平面，因为平面，
所以，又因为，
所以平面，又因为、平面，
所以、，
所以为二面角的平面角，
因为二面角为直二面角，所以，
因为，，，所以，
所以，又因为，
所以，，，
因为，所以，又因为，
所以平面，，
所以．
故三棱锥的体积为．

18．（2021•梅州一模）如图，矩形中，，，为的中点．把沿翻折，使得平面平面．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求所在直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（Ⅰ）证明：因为平面平面，平面平面，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
故．
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
，0，，，1，，，1，，，，，
，1，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，
，令，，0，，
所以所在直线与平面所成角的正弦值为．

19．（2021•河源模拟）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）连接，则和都是正三角形．
取中点，连接，，
因为为的中点，所以在中，，
因为，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以．
同理，
又因为，所以平面．
解：（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，2，，，0，，
，2，，，3，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
取平面的法向量，0，，
则，
所以二面角的余弦值是．

20．（2021•韶关一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：设交于，因为为正方形，所以为中点，
连接，因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，
又因为，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作于，连接，
又因为平面平面，所以平面，
所以，
所以为直线与平面所成的角，
其正弦值为．
直线与平面所成角的正弦值为．

21．（2021•江门一模）如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，，，．
（1）求证：；
（2）若，且二面角为，求多面体的体积．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】证明：（1）设与交于点，连接，
四边形为菱形，，为的中点，
，，
又，平面，
而平面，；
解：（2）连接，，，
又，且，平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，0，，，1，，，，，
设，0，，再设平面的法向量为，
，，，，0，，
则，取，得，
设平面的法向量为，，
则，
取，则，
，
即，解得，
由（1）知，平面，为的中点，
．
，
．
多面体的体积为．

22．（2021•茂名模拟）如图，四棱锥中，矩形，其中，，，点为矩形的边上一动点．
（1）为线段上一点，，是否存在点，使得平面，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）存在点满足平面，此时
证明如下：
在线段上取一点，使得，
因为，，所以且，
又因为且，
所以且，
故四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，又平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
设，因为，解得，即为的中点，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故直线与平面所成角的余弦值为．


23．（2021•广东模拟）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，因为，，，
所以，又因为，，
所以，所以，
又因为，，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：因为，所以，又因为，
所以，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
，0，，，1，，，0，，，3，，
，1，，，0，，，3，，
设平面与平面的法向量分别为，，，，，，
，令，，2，，
，令，，2，，
设二面角的大小为，由图可知为钝角，
所以．
故二面角的余弦值为．

24．（2021•湛江校级模拟）在三棱柱中，，，，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设二面角的大小为，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：在中，，所以，即．
因为，，，所以．
所以，即．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）解：由题意知，四边形为菱形，且，
则为正三角形，取的中点，连接，则．
以为原点，以的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，，0，，，．
设平面的法向量为，，，
，．
由，得
取，得，0，．
由四边形为菱形，得；
又平面，所以；
又，所以平面，
所以平面的法向量为．
所以．
设二面角的大小为，
则．

25．（2021•广州二模）如图1，四边形为直角梯形，，，，．为线段上的点，且．将沿折起，得到四棱锥（如图，使得．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明：在图1中过点作交于点，在图2中取中点，连接和，
则，
，且，
为等边三角形，，
在中，，
又，，
，，
在图2中，，
△为等腰三角形，，
中，，
，，
，
△△，
，
，
平面，
平面，
，
，，
平面，
平面，
平面平面；

（2）如图所示，连接交于点，过点作交于点，
由（1）知，平面，
和在平面内，
，且，
，
，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则，则可取，
易知平面的一个法向量为，
，
由图可知，二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
26．（2021•揭阳模拟）如图1，在梯形中，，，．将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是．

（1）证明：平面平面；
（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意知，，，

所以平面，又因为平面，
所以平面平面，即平面平面．
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，，
同理，为二面角的平面角，，
为等腰直角三角形，
因为，所以，
又梯形的面积为，解方程得，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
，0，，，，，，，，，，，
，，，，，，，0，，
设平面与平面法向量分别为，，，，，，
，令，，0，，
，令，，1，，
设二面角的平面角为，由图得为钝角，
所以二面角的余弦值为：
．
27．（2021•广东模拟）如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，分别是，的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
设，连接，
因为为菱形，所以为中点
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．

（2）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，，分别为，的中点，所以，因为平面平面，所以平面，
所以平面，因为为菱形，所以，得，，两两垂直．
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．
因为底面是边长为2的菱形，，，所以，0，，，0，，，0，，，0，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．
由平面，得平面的法向量为，
则
所以二面角的大小为．
28．（2021•惠州二模）在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：，，
，，
，即．
又平面，平面，
，又，
平面，又平面，
．
（2）解：，，
，，．
以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，0，，，0，，，0，，
，，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，即，1，．
．
设直线与平面所成角为，则．
直线与平面所成角的正弦值为．

29．（2021•梅州二模）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，在直角梯形中，，，，，是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，作交于点，连接，
，，
又，，
，且，即有四边形是平行四边形，得，
平面平面，平面平面，，
平面，
平面，而平面，则平面平面，
为等边三角形，为的中点，则，
平面，平面平面，平面平面，
平面，又，
平面；
（2）解：如图，设是的中点，在正中，，
作，，
由平面平面，可得平面，则平面，
再以，方向为，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，0，，，0，，
，，，．
，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，1，；
点在线段上，设其坐标为，0，，其中，
，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，得，，．
由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
整理得或，
，，0，，
．


30．（2021•广东模拟）如图，在直角梯形中，，且，直角梯形可以通过直角梯形以为旋转轴得到．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在直角梯形中，，且直角梯形是通过直角梯形以直线为轴旋转而得，
所以，所以，，又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：由（1）可知，，，
因为二面角为，所以，
过点作平面的垂线，建立空间直角坐标系如图所示，
由，可得，
所以，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．