专题07 单选压轴题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（江苏专用）

专题07 单选压轴题

1．（2021•江苏一模）已知点，，，在球的表面上，平面，，若，，与平面所成角的正弦值为，则球表面上的动点到平面距离的最大值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】

【详解】因为平面，，所以球心为中点，其在面投影为，则，

作，所以，

所以，所以到平面距离的最大值为3．

2．（2021•南京二模）已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由题意知，

如图，在平面内任取一点，使，则，

故以为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆弧，

故该交线长为．

3．（2021•江苏一模）已知曲线在，，，两点处的切线分别与曲线相切于，，，，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

【答案】

【详解】对于曲线，，

则在处的切线为，即，

的导数为，

可得在，处的切线方程为，

即，

由题意可得，，

则，可得，

同理可得，

则，为方程的两个不等的正根．

设，

则，

所以，即，所以，

所以的值为2．

另解：由于函数和互为反函数，

可得它们的图象关于直线对称，

即有，和，分别关于直线对称，

则，，则，即，

则．

4．（2021•江苏一模）若，则满足的的取值范围是　　

A．，， B．，，， 

C．，， D．，，，

【答案】

【详解】（1）当时，成立，

（2）当时，成立，

（3）当时，，即，

①当时，不等式化为，解得，

②当时，不等式化为，解得，

（4）当时，，即，

即，解得，

综上，不等式的解集为，，，

5．（2021•江苏二模）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

【答案】

【详解】令，则，

在时单调递增，又（1）（1），

时，，时，，

当时，，，，

时，，，，

在上恒成立，

又是奇函数，，

在上恒成立，

①当时，，，即，

②当时，，，即，

由①②得不等式的解集是，，

6．（2021•江苏二模）若，则　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】设，，令，，

，递增函数，

设，，

，当时，，，

在，上单调递减，

，，

（a）（b）（c），，

，，，

，，，

7．（2021•徐州模拟）已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是　　

A．（a）（b） B．（b）（a） 

C．（a）（b） D．（b）（a）

【答案】

【详解】令，；

又，，

是上的减函数；

令，则，由已知，

可得，

下面证明：，即证明，

令，则：

，在，（1），

即，

，

若且，

则（a）（b）

8．（2021•无锡模拟）若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，，且，则的斜率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由已知可知椭圆的右准线方程为：，所以，即，

又由已知可得：，且，

联立方程解得：，，

所以椭圆的方程为：，

①当的斜率不存在时，与轴垂直，方程为，不符题意，

②当直线的斜率存在时，设的方程为：，

联立方程，消去可得：，

设，，，，则，，

由可得：，，则，

所以，，联立解得

9．（2021•江苏模拟）如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为　　

A． B．6 C． D．

【答案】

【详解】设，

由，，，

得，即，

由题意得，

中，由正弦定理得，，得，

中，由正弦定理得，，得，

因为为等边三角形，

，为辅助角，，

当时取得最大值．

10．（2021•江苏模拟）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

【答案】

【详解】函数，

作出的图象与图象有两个交点，（如图）

设与的切点为，，

可得，解得，

相切时的斜率．

故得的图象与图象有两个交点时，．

11．（2021•扬州一模）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，！！，现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】因为，

则，，

当时，则有，

又，

则．

12．（2021•淮安模拟）已知圆与轴交于，两点，点的坐标为．圆过，，三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】令，可得，设，，

设圆的方程为，取，可得．

则方程与方程等价，则，，

则圆的方程为．

圆过，，即，

得圆的方程为，

即，

由圆系方程可知，圆经过圆与直线的交点，

则圆被直线即所截弦长为定值．

13．（2021•如皋市模拟）如图，在边长为2的正方形中，点、分别是边，的中点，将沿翻折到在翻折到的过程中，的最大值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】因为四边形为正方形，，分别为，的中点，

所以，所以，

又因为，所以，

故，设，在翻折过程中，始终有，

又，，所以，

所以在以为圆心，为半径的上半圆运动．

的最大值时，最大，即与半圆相切时，

设切点为，，

．

此时．

14．（2021•江苏模拟）如图，直角三角形中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为的圆与直线交于，两点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】由题可得：为的中点，，

则，

，，，

故，

，

的最小值为：．

15．（2021•南京三模）已知，，均为不等于1的正实数，且，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】令，则，，代入得，，

设（b），则（b），

设（b），（b），

当时，（b），当时，（b），

又，（b）的最小值大于1，即（b），

（b）为增函数，

（1），（e），（1）（e），，

，．

16．（2021•常州一模）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才”．北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，

得到的整数有32个，分别为：

11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，

1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，

2，20，200，2000，6，60，600，6000，

其中算盘表示的整数能够被3整除包含的整数有16个，分别为：

15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，

则算盘表示的整数能够被3整除的概率为．

17．（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系中，设点是抛物线上的一点，以抛物线的焦点为圆心、以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，记记，若，且的面积为，则实数的值为　　

A．8 B．4 C． D．

【答案】

【详解】由，得，

，，

所以，结合图象，所以为等边三角形，

，，

即圆的半径，

设，，

，，

解得

18．（2021•常州一模）函数，，，，，则函数在区间上的零点最多有　　

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【答案】

【详解】根据题意，函数在区间上的零点，

就是函数和函数在区间的交点，

对于，其周期，

区间包含2个周期，

如图：

两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数在区间上的零点最多有5个，

19．（2021•锡山区校级三模）已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】，则，

令，得，

由题意知在，上有2个根，，

故，解得：，

由根与系数的关系得，

由求根公式得，

，，

，，

则

，

令，则，

设，则，

易知在，上单调递增，

故，

故当时，函数为减函数，

，且，

，．

20．（2021•苏州模拟）已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

【答案】

【详解】，对恒成立，

即，化为：，

令，，

，

，可得时，函数取得极小值即最小值，（1），

恒成立，

函数在上单调递增，

而，

，

，即，

令，，

，可得时，函数取得极大值即最大值．

．

21．（2021•江苏模拟）若，则　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【详解】由函数，，

可知，，，，，

又，，

所以．

22．（2021•南通模拟）已知函数，．若对，，，使成立，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，，

，令，解得：，

故在递增，在递减，

故（2），

而时，，时，，

故，，

，

，

令，解得：，

故在，递增，

而（1），

（3），

故，，

若对，，，使成立，

则，，，

故，解得：

23．（2021•江苏模拟）已知抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，圆过，，三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线方程为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】与轴交于，，

设两点，，，，

设圆的方程为，取，可得．

则方程与方程等价，则，，

则圆的方程为．

圆过，，即，

得圆的方程为，

即，

由圆系方程可知，圆经过圆与直线的交点，

则圆被直线所截弦长为定值．

24．（2021•无锡一模）已知函数在定义域上单调递增，且关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】函数在定义域上单调递增，

且，

故，

画出函数的图像，如图示：

，

在处的切线为，即，

又，故与没有公共点，

与有且仅有1个公共点且为，

在处的切线的斜率必须大于等于1，

，，，，

综上：的取值范围是，

25．（2021•南通模拟）已知点，，是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

【答案】

【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知，即为等腰三角形，

三角函数的周期，

且，取的中点，

连接，则，

要使是锐角三角形，

只需要即可，

即即可，即．

由，

得，

得，

得，得，

则，

即点纵坐标为1，则，

由得，即，

则，即，得，

即的取值范围为，

26．（2021•江苏模拟）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【答案】

【详解】令，

，

所以为奇函数，

不等式，即，

即，

所以，

因为在上为增函数，在上为增函数

所以在上为增函数，

由奇函数的性质可得在上为增函数，

所以不等式等价于，分离参数可得，

令，，

由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，

（1），（4），所以，

所以由题意可得，

即实数的取值范围是．

27．（2021•苏州模拟）平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称该点为整点．已知点，，，，若整点满足，则点的个数为　　

A．10 B．11 C．14 D．15

【答案】

【详解】设，，，

因为点，，，，

所以，，，，

所以

，

整理得，

所以，

所以，且，，

所以有，，，，，，，，，，，，，，，

共15个．

28．（2021•江苏模拟）已知函数，且，则　　

A．（a）（b）（c） B．（b）（c）（a） 

C．（a）（c）（b） D．（c）（b）（a）

【答案】

【详解】，且，

令，则，，

（a），

（b）（e），

（c）（1），

又，

（c）（b）（a）

29．（2021•盐城三模）已知正数，，满足，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．以上均不对

【答案】

【详解】由题意知，，即，且，，即，

综上，

30．（2021•连云港一模）定义方程的实数根叫做函数的“保值点”．如果函数与函数的“保值点”分别为，，那么和的大小关系是　　

A． B． C． D．无法确定

【答案】

【详解】由题意可得，，，

所以，，

假设，则，则，

所以，

所以，则，这与矛盾

故假设不成立，所以，

故．