专题12 立体几何综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（江苏专用）

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（2）若平面平面，求的长．
【答案】（1）；（2）1
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，所以．
又因为，平面，平面，．
所以平面．
在平面内过点作于，连结，则．
所以为二面角的平面角．
在中，，，
由，得．
在中，，
所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）设平面平面．
因为四边形为正方形，所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面平面，所以．
因为平面，平面，所以，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，所以．
设，则，，所以，
解得，即．
2．（2021•南京二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点．
（1）证明：平面平面；
（2）当点在线段的何位置时，平面与平面所成锐二面角的大小为？指出点的位置，并说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：因为底面，面，所以，
又，，、平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，且为的中点，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）解：设，
以为原点，分别以，，方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，，，
所以，，，
设，1，，则，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，，所以，
同理可得，平面的一个法向量为，
因为平面与平面所成锐二面角的大小为，
所以，，
化简得，解得，
故为线段的中点．
3．（2021•江苏一模）如图，在正六边形中，将沿直线翻折至△，使得平面平面，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，，
又是的中点，
，，
又正六边形中，，，
，，
又为的中点，
，，
四边形为平行四边形，故，
平面，平面，
平面；
（2）由条件可知，，，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正六边形的边长为2，则，
，
设平面的法向量为，则，则可取，
设平面的法向量为，则，则可取，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
4．（2021•江苏一模）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设是的中点，判断点是否在平面内，并请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【详解】（1）取中点，连接、，
是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，
因为，，，所以四边形为边长为1的正方形，
所以，又因为，所以，所以，
所以、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，，0，，
平面的法向量为，1，，，1，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）连接，，0，，，0，，，，，，，，
点到平面的距离为，所以点在平面内．
5．（2021•江苏二模）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在棱上且直线与平面所成角的正弦值为，求的长
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，．
因为三棱柱的所有棱长都为2，所以，，．
又因为，且，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
在直角三角形中，，，所以．
在三角形中，，，，
所以，
所以．
又因为，，，平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）解：以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，1，，，，，，0，，，0，，
因此，1，，，，，，1，．
因为点在棱上，则设，1，，其中．
则，，．
设平面的法向量为，，，
由得，
取，，，
所以平面的一个法向量为，，．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
化简得，解得，
所以
6．（2021•江苏二模）如图，在三棱台中，，是的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，，，求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以
又因为，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以；
（2）解：以为坐标原点，与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
于是，因为是三棱台，所以，
又因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
因为平面，所以平面的法向量为，
所以，
因为二面角为钝二面角，
所以二面角的大小为．
7．（2021•徐州模拟）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，因为，，都是圆柱的母线，所以，
因为，是的两个三等分点，为圆的直径，所以，
又因为，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
（2）解：连接，因为为圆的直径，所以，
又因为平面，所以，，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
，令，则，，，
平面的法向量为，1，，
所以二面角的余弦值为．
8．（2021•江苏模拟）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．
（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，于是．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，0，，，0，，，2，，，2，，
，0，1，，
，1，，，0，，，2，，
设平面和平面的法向量分别为，，和，，，
，令，，，，
，令，，，．
所以二面角的余弦值为，
整理得，解得或，
因为二面角是锐角，所以舍去，
故长为．
9．（2021•江苏模拟）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，．
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值是，且直线与平面所成角的正弦值是，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：由题意可知，又，则
又，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）解：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，连结，
故即为直线与平面所成的角，
则有，
又平面与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
又，所以，则，
故，所以，，
又异面直线与所成的角为，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
10．（2021•苏州模拟）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，．
（1）证明：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，从而可得；
（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，
设，，
在中，，
过点作于，
则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
11．（2021•扬州一模）如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，，分别为，的中点，，在棱上且满足，连接，．
（1）证明：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，分别为，的中点，，
所以为重心，所以，又，所以．
平面，平面，
平面．
（2）解：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，
连结，则，以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，0，，，1，，，0，，，0，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为，，，
所以，，
所以直线和平面所成角的正弦值为．
12．（2021•淮安模拟）如图1所示，梯形中，．为的中点，连结，交于，将沿折叠，使得平面平面（如图．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，因为．为的中点，
所以、、都是边长为2的正三角形，四边形是菱形，，，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：由（1）知、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，0，，，，，，0，，
，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
，令，，1，，
平面的法向量为，0，，
设平面与平面所成的二面角的大小为，
，．
13．（2021•如皋市模拟）如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：在中，因为，分别是，的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
设，连接，
因为为菱形，所以为中点
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，，平面，
所以平面平面．
（2）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，，分别为，的中点，所以，因为平面平面，所以平面，
所以平面，因为为菱形，所以，得，，两两垂直．
所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．
因为底面是边长为2的菱形，，，所以，0，，，0，，，0，，，0，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．
由平面，得平面的法向量为，
则
所以二面角的大小为．
14．（2021•江苏模拟）如图，在直角中，直角边，，为的中点，为的中点，将三角形沿着折起，使，为翻折后所在的点），连接．
（1）求证：；
（2）求直线与面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接、，
因为，所以，，，
所以，所以，
，，所以，
又因为，所以
又，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）解：因为，所以，
由（1）知，，，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
，0，，，0，，，1，，，0，，
，，，，，，，，，
设平面法向量为，，，
，令，，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
15．（2021•南京三模）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，为的中点，直线与所成角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取中点，连接、、，
因为四边形为直角梯形，，，，
所以，四边形是边长为2的正方形，
因为为等边三角形，为的中点，，
所以，
因为直线与所成角的大小为，，所以，
又因为，所以，于是，
因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
故平面平面．
（2）解：由（1）知、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，2，，，0，，，，，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，，，，，
，令，，，，
，令，，，，
设平面与平面所成角大小为，
，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
16．（2021•常州一模）在矩形中，，取边上一点，将沿着折起，如图所示形成四棱锥．
（1）若为的中点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值；
（2）若将沿着折起后使得，求线段的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）取的中点，连结，，
因为，且，所以为等腰直角三角形，
同理也为等腰直角三角形，
所以，，，所以平面，
所以二面角的平面角为，
因为，所以为正三角形，
取的中点，连结，则，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
连结，则为直线与平面所成的角，
因为，所以，
故与平面所成角的正弦值为；
（2）在平面内作，垂足为，连结，，则，
又因为，，所以平面，
又平面，所以，
又因为，因为，，平面，
所以，，三点共线，，
在矩形中，，
所以，
所以，解得，
所以．
17．（2021•江苏模拟）如图，在水平桌面上放置一块边长为1的正方形薄木板．先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为．再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为．
（1）求整个转动过程木板扫过的体积；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，
半径为1的扇形，高为1的直棱柱组成，
故其体积．
（2）以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，1，，，0，，
，，，
，
设，，是平面的一个法向量，
则，即，
不妨令，则，，，
同理平面的一个法向量，0，，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18．（2021•常州一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，，平面平面，二面角的大小为．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：底面四边形是矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，平面，平面
，，，
为二面角的平面角，
又二面角的大小为，，
在中，，
，即，
又，，
平面；
（2）解：如右图所示，在底面内，过点作，垂足为，连接，
由（1）知平面，平面，，
又，平面，
为直线与平面所成的角，其中，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
19．（2021•苏州模拟）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面．
（1）若点是线段的中点，求证：平面；
（2）点在线段出上且满足，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，且有公共边
，
是的中点，，，
，平面．
（2）取的中点，连结，，由条件得，，两两垂直，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，
则，0，，，1，，，，，，0，，，0，，
，1，，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，得，，，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
20．（2021•江苏模拟）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：因为，且为线段的中点，所以．
又，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以．
又平面平面，平面，，
平面平面，
所以平面，又因为，
所以平面，又平面，
所以．
（2）解：存在，为棱上靠近点的三等分点．
因为，为线段的中点，所以，又平面平面，所以平面．
如图，以为坐标原点，、、的方向为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，1，，，0，，，0，，
所以，，，
设，得，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
于是有；
解得或（舍去），
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
故为棱上靠近点的三等分点．
21．（2021•江苏模拟）如图，四棱锥中，，，点是的中点，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：延长，交于点，连结，
因为，所以，所以，，
又因为，所以，
故，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
因为，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，故，
所以，
故二面角的余弦值为，
所以二面角的正弦值为．
22．（2021•无锡一模）如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接交于，连接，
取中点，连接，
因为，，
所以，，，
因为平面，所以，
又因为，所以，
，所以，
所以，于是，
所以，即，
因为平面，所以，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：由（1）知，、、两两垂直，
所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得各点坐标如下：
，0，，，，，，0，，，0，，，，，
，，，，0，，，0，，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，，，，，
，令，，，，
，令，，3，，
设平面和平面所成锐二面角的大小为，
则．
所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
23．（2021•南通模拟）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．，分别是，的中点，且，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连结，则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
所以是正三角形，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为，且，，平面，
所以平面；
（2）解：连结，则，所以，，
在中，，
又，，所以，
故的面积为，
由等体积法可得，
所以，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，所以，
所以，
所以，
由图形可得，二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
24．（2020•珠海三模）如图，四棱锥，四边形为平行四边形，，，，，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）（2）见解析；（3）
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，
为中点，
为中点，
，平面，平面，
平面．
（2）证明：四边形为平行四边形，，
为，中点，
，，
，，，
平面，
，
又，，
平面，平面，
平面平面．
（3）解：以，分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，，，
，，
，，
，，，
，
，0，，，1，，，2，，，2，，
，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，夹角的补角就是二面角的平面角，
由和，
解得：和，
，，
，
二面角的余弦值为．
25．（2021•江苏模拟）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，，，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，，由题意得平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，，，，0，，，，，，0，，
，，，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
，平面，
平面．
（2），，，，，0，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则，
．
二面角的正弦值为．
26．（2020•咸阳二模）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
（1）求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1）证明：由，，，
所以平面，又平面，
故，又，故平面，
平面，故，
又等腰三角形，，
，故平面，
平面，
故平面平面；
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，设，，，，0，，，2，，，0，，，2，，，0，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
平面的法向量为，
故，
得，
故存在为的中点．
27．（2021•苏州模拟）如图，多面体中，四边形是菱形，平面，，，，．
（1）设点为棱的中点，求证：对任意的正数，四边形为平面四边形；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：设在平面内的射影为，因为，所以，
故点在的垂直平分线上，
因为是菱形，且，
故直线与的交点即为的中点，
因为平面，平面，
所以，故，共面，
所以为平面四边形；
（2）解：分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，，，，
当时，由，
又为等腰三角形的底边的中点，故，
所以
故，又，
设，，，则有，
解得，
设平面的法向量为，
因为，
则有，即，
令，则，故，
又，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
28．（2021•江苏模拟）已知是圆的直径，且长为4，是圆上异于，的一点，点到，，的距离均为．设二面角与二面角的大小分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）连结，，因为，为的中点，所以，
因为是圆上异于点，的一点，且是圆的直径，
所以，故，
又因为，，所以，
所以，因为，平面，，所以平面，
分别取，的中点，，连结，，，，
则在圆中，，由平面，可得，
又，所以平面，
所以，则，同理，
所以；
（2）因为，所以，
在圆中，，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，
又因为平面，
所以轴，故，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
同理可求得平面的法向量为，
所以，
因为二面角是钝二面角，
故二面角的余弦值为．
29．（2021•盐城三模）如图，在三棱柱中，，，且平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）设点为直线的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：因为，所以
因为，所以．
在中，，即，
所以，即．（2分）
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以，
在△中，，，，
所以，即，
所以．
而，平面，平面，，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面中过点作的垂线，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，0，，
所以，，，，，，
所以，，，
平面的一个法向量为，1，，
设直线与平面所成的角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，．
30．（2021•连云港一模）如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，与平面所成角的余弦值为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：取的中点，因为，所以，且，
连结，因为，所以为等腰直角三角形，且，，
由，可知，
由，，且，，平面，
所以平面，又平面，
故平面平面；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，2，，，0，，所以，
设，，，则，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，又，
所以，
则有，解得，
则，
所以．