精练03 平面向量与复数-备战2022年新高考数学选填题分层精练

精练0 3 平面向量与复数

基础练

1．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．4 B．-4 C．3 D．-3

【答案】A

【分析】

根据复数的乘方得到，再根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到，从而得到的虚部；

【详解】

解：因为，，，所以，

因为，所以，，于是所以的虚部为4.

故选：A.

2．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.

【详解】

，，

由，P，M共线，存在，使①，

由N，P，B共线，存在，使得②，

由①② ，故.

故选：B.

3．以下四个命题中，正确的是（    ）

A．若，则，，三点共线

B．

C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

D．三角形ABC为直角三角形的充要条件是

【答案】C

【分析】

对于三点共线时，；设，则

； 时，为直角，反之也可以是，为直角.

【详解】

对于，若，因为，则、、三点不共线，故不正确；

对于， 设，则，故不正确；

对于，向量是空间的一个基底，则不共面，则，，

也不共面，所以能构成空间的另一个基底，故正确；

对于， 时，为直角，故△为直角三角形，即必要性成立，

反之也可以是，为直角，故不正确；

故选:．

4．已知四边形是矩形，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

方法一：根据题意，建立平面直角坐标系，设，进而利用坐标法求解即可；

解法二：用为基底表示向量，，再根据得得，，再根据计算得，进而得答案.

【详解】

解：解法一 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，，，.

∴，，，.

∴，.

∴，.

∵，

∴，即.

又，

所以，.

∴.

∴.

∵，∴.

故选：C.

解法二：∵，

，

∴.

∵，∴，得.∴，

.

∴.

故选：C.

5．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）

A．

B．

C．

D．若，，则

【答案】D

【分析】

A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．

【详解】

A．，

时，，，

时，，成立，

时，，，

综上，A不恒成立；

B．是一个实数，无意义，B不成立；

C．若，，则，

，，

，

，

，C错误；

D．若，，则，，

，

，

所以，成立．

故选：D．

【点睛】

本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．

6．设是复数，则下列命题中的真命题是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】ABC

【分析】

根据，得到，结合共轭复数的定义，可判断A正确；由共轭复数的定义与运算，可判定B正确；设，利用复数的运算法则，可判定C正确；令，可判定D错误.

【详解】

对于A中，由，可得，所以，所以，所以A正确；

对于B中，由，则和互为共轭复数，所以，所以B正确；

对于C中，设，

由，可得，即，

所以，所以，所以C正确；

对于D中，若，则，而，此时，所以D错误.

故选：ABC.

7．已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

【答案】ABC

【分析】

由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.

【详解】

因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设，

由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆，

由得：，

整理得：，表示一条直线l，

依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数，

点C到直线l的距离

，

显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足；

当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足；

当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足.

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.

8．在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若F为AE的中点，则

C．若，，，则

D．若，且，则

【答案】ACD

【分析】

取的中点，则也是的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.

【详解】

解：对于A，取的中点，则也是的中点，

则有，所以，故A正确；

对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；

对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；

对于D，由A选项得，，

由，因为，

所以，即，

因为，所以，平分，

在中，，所以，

所以为等边三角形，所以，故选：D.

故选：ACD.

9．写出一个同时满足下列条件的复数________.①；②复数z在复平面内对应的点在第四象限.

【答案】（答案不唯一）

【分析】

根据复数的几何意义以及模长公式得出答案.

【详解】

不妨令，则，复数z在复平面内对应的点位于第四象限，满足①②，故符合题意（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）

10．在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.

【答案】

【分析】

由得到，再根据得到，即得解.

【详解】

解：在中

，

即

所以，

故

，

即，

故

解得或

，B为直角的内角

，

故，

又，

故在方向上的投影向量的模为.

故答案为：

提升练

1．已知为坐标原点，点，，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．记取最大值，，则中有且只有个元素

D．记是的最大值，则

【答案】D

【分析】

根据平面向量数量积的坐标表示、两角差的余弦公式及余弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为，，，，所以，，，，所以，，所以不一定等于，故A错误；

，，故B错误；

因为，所以，因为，所以，所以当，即时取最大值，故中有无数个元素，故C错误，D正确；

故选：D

2．“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：

①，，有

②如，，，有；

③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元；

④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群．

例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ）

A．，则为一个群

B．，则为一个群

C．，则为一个群

D．{平面向量}，则为一个群

【答案】B

【分析】

对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则不为一个群，所以该选项错误.

【详解】

A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确；

B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误；

C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确；

D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确.

故选：B

3．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】

根据向量共线可得,,化简可得，

转化为，根据，再利用三角形的面积表示出来即可得解.

【详解】

如图，连接AD并延长交BC与点M,

设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,

因为，

所以设，

因为AM与向量AD共线，

设,,

所以，

即，

,

所以

故选：A

4．已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

建立坐标系，设，根据已知条件得到所设未知数的关系，利用向量模的坐标表示求出的取值范围，代换之后即可逐项判断.

【详解】

解：因为向量夹角为，设，

因为，

①

，

若，则由①得，这与矛盾.

∴，代入（1）得

，

由得，

综上：，

，

令，则，所以，

，

又，，故，故A正确；

，令，则，所以

，

，，故，

 ，则，故B、C、D都错误.

故选：A

【点睛】

平面向量的解题思路：

(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题.

5．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】

由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果．

【详解】

设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，

由，

知G为的重心，则G的坐标为，

由，知点P在角的平分线上，

又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，

如图，设角平分线交于，则，

故，由为角平分线可得，

而，故，故即,

因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．

若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；

所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，，

由，得：，

可知：，

所以，

所以

，

解得，

所以直线MN的方程为：，

则原点O到直线MN的距离为：．

故选：C．

6．已知复数在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，

C．满足的点表示的轨迹为直线

D．满足的点表示的轨迹为椭圆

【答案】AD

【分析】

根据复数模值的定义以及复数的几何意义逐项验证即可.

【详解】

对于A选项：表示以为邻边的平行四边形对角线相等，则四边形为矩形，，故A选项正确；

对于B选项：在复平面中，设，，，

又，，

，，

，若，则，故B选项不正确

对于C选项：在复平面中，表示以为圆心，为半径的圆，故C选项不正确；

对于D选项：在复平面中，点到间距离为，设，

,

点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D选项正确；

故选：AD

7．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】

连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，

再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.

【详解】

连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，

又D，G，E三点共线，即，则有，

而，，又，于是得，

而与不共线，因此，，，A正确；

边AD上的高为，边AB上的高为，

则，B正确；

由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，

即，而，于是得，C正确，D错误.

故选：ABC

8．平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．在方向上的投影是1

C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是

【答案】ACD

【分析】

结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A选项；根据在方向上的投影是进行计算，即可判断B选项；设，根据题意可知，并取，从而得出动点在以为直径的圆上，设的中点为，从而得出，即可判断C选项；设，由可知故在垂线上，根据向量的加减法运算得出，过作的垂线，垂足为，可知，即可求出的最小值，从而可判断D选项.

【详解】

解：因为，且，则，所以，

又，则，则，故A正确；

由于在方向上的投影是，故B错误；

设，

由于，即，故，

因为，取，则，

所以，所以动点在以为直径的圆上，如图，

，则，，

设的中点为，的中点为，过作的垂线，

则，因为，所以的最大值是，故C正确；

设，因为，即，则，

所以，故在垂线上，

而，

又是的中点，所以，则，

过作的垂线，垂足为，则，

又，所以，

所以的最小值是，故D正确.

故选：ACD.

9．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则______

【答案】4

【分析】

由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果．

【详解】

因为复数是关于的实系数方程的一个根，

所以复数是关于的实系数方程的一个根，

所以，即，所以.

故答案为：.

10．已知平面向量，其中是是单位向量且夹角为，向量满足，则的最大值与最小值之差为__________.

【答案】

【分析】

设，由，得，由得，令与联立，利用判别式可得答案.

【详解】

根据题意不妨设，

因为，所以，整理得，

由得，令，

联立得，

所以，

即，解得，所以.

故答案为：.