查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关(33122767)

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查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质

三角恒等变换是高考的一个重要考点，通常难度不大，主要用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算.考查主要集中在两角和与差的三角公式、二倍角公式、辅助角公式.三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明中发挥作用，还涉及不少其他方面，如通过三角换元可以将一些代数问题化为三角问题，参数方程的建立又可将解析几何问题中的曲线问题归结为三角问题，是最常见的解题“工具”.利用三角恒等变换公式对三角函数式进行求值、化简和证明，进一步发展了数学运算能力，体现了数学运算核心素养;三角公式众多，方法灵活多变，熟练掌握这些公式，可以加深对诸多公式内在联系的理解，发展学生的逻辑思维能力，体现了逻辑推理核心素养.
三角函数是基本初等函数中的一种超越函数.三角函数的图像和性质，在高考中出现的频率较高，需要掌握最基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，研究方法是先作图像，再通过图像观察总结其性质.形式为的三角函数是考查中的重点，考查方面有周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移与伸缩变换、由性质或者图像确定函数的解析式等.了解此函数的物理意义以及参数对函数图像的影响.三角函数是刻画周期现象的重要函数.利用三角函数的图像研究三角函数的性质非常直观，体现了直观想象核心素养;对三角函数性质的研究，体现了逻辑推理核心素养;三角函数在实际问题中的应用，体现了数学建模核心素升.
高考五星高频考点，2019年-2021年高考全国卷均在选择、填空题进行考查.

易错点1　忽视正、余弦函数的有界性
【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
易错点2　忽视三角函数值对角的范围的限制
【突破点】　 在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．
易错点3　忽视解三角形中的细节问题
【突破点】　(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围．
(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补的情况．
(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切忌出现漏解情况．
易错点4　三角函数性质理解不透彻
【突破点】　(1)研究奇偶性时，忽视定义域的要求．
(2)研究对称性时，忽视y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个．
(3)研究周期性时，错将y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的周期写成2πω.
易错点5　图象变换方向或变换量把握不准确
【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移φω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．
易错题6 不能全面理解三角函数性质致误
【突破点】本易错点主要包含以下几个问题：(1)求三角函数值域忽略定义域的限制；(2)确定三角函数的最小正周期，忽略三角变换的等价性；(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.
易错题7 对平移理解不准确致误
【突破点】三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ.
易错题8 用零点确定的,忽略图象的升降
【突破点】确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：

．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．（2021·山东·高考真题）已知向量，，那么等于（       ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.
【详解】
，，
.
故选：A.
5．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（       ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
【详解】
根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.
故选：B
6．（2021·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
7．（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】
关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
8．（2021·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
【答案】
【解析】
【分析】
首先求的值，再求.
【详解】
，且为第四象限角，
，
.
故答案为：
9．（2021·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】
，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
10．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．
【答案】（满足即可）
【解析】
【分析】
根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】
与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.

【好题演练】
1．（2022·陕西渭南·一模（理））函数的部分图像大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除不符合题意的选项，然后观察剩余选项的不同点，利用函数值的符号排除不符合题意的选项，从而得出答案.
【详解】
由题意可知，函数的定义域为，
，
所以为奇函数，排除选项A，B；
当时，，所以，
所以，排除D．
故选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像；若，，，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，，，求得的值，可得答案.
【详解】
设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，
又由题图可知图象的一个对称中心为点，
故，，故，，
因为，所以，所以.
又因为，
故，
所以；
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，
得到的图象；
因为，所以 同时令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，
故选：D.
3．（2022·全国·模拟预测）若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，结合正切的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，
可得
.
故选：D.
4．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由函数解析式得到、，再根据的取值范围，求出、的取值方程，即可得到，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，，因为，即，因为，所以，，所以，解得；
故选：B
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则的值为（       ）
A．1 B． C．2 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
将分子分母同除以 ，再将代入，即可求得答案.
【详解】
由题意得：
，
故选：A．
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，求出，利用正弦的二倍角公式及平方关系，
结合齐次式即可求解.
【详解】
由，得，
．
故选：D．
7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数是奇函数．若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于x的方程在有两个不相等实根，则实数m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用奇偶性可得，通过图像变换得出，根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以，解得，即，
则，
向左平移个单位长度后，得到，
向上平移个单位长度，得到，
当时，，结合正弦函数对称性可知，
在有两个不相等实根，则且，
此时，实数m的取值范围是.
故选：C．
8．（2022·全国·模拟预测（理））（       ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】
解：由题得.
故选：C
9．（2022·全国·模拟预测（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过诱导公式统一两个三角函数的名称，进而根据三角函数图象变换的性质求得答案.
【详解】
由题意，，函数，则，所以函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，因为函数的周期为，所以向左应该平移个单位.
故选：B.
10．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．是周期为的周期函数 B．点是图象的一个对称中心
C．直线是图象的一条对称轴 D．对任意实数，恒成立
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定图象求出函数的解析式，再逐一分析各个选项，计算判断作答.
【详解】
依题意，令的周期为，则，解得，，
由得：，而，则有，即，
函数的最小正周期，A不正确；
因，则点是图象的一个对称中心，B正确；
因，则直线不是图象的对称轴，C不正确；
，即是函数的最小值，D不正确.
故选：B
11．（2022·全国·模拟预测）已知，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
12．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据图像求出g(x)的解析式，再求出f(x)解析式，求出A集合，根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】
由图可知周期，∴．
由得，∴，，
∵，∴k取0，，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，∴．
故答案为：﹒
13．（2022·全国·模拟预测）已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
进行弦化切，把代入直接求值.
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测）函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是______．

①的最小正周期为6；
②；
③的图象的对称中心为；
④的一个单调递减区间为．
【答案】②③
【解析】
【分析】
由判断①；由和点在的图象上求解判断②正确；令求解判断③；令求解判断④.
【详解】
解：由图可得，所以①错误；
因为，所以．
因为点在的图象上，
所以，即．
因为，所以，所以，所以②正确；
令得，所以的图象的对称中心为，所以③正确；
令，得，
令得，令得，所以，所以④错误．
故答案为：②③．
15．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则在上的最大值为______.

【答案】
【解析】
【分析】
先根据图象求出函数解析式，再根据所在区间求出最大值.
【详解】
，解得，由，所以，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，所以的最大值为.
故答案为：.
16．（2022·全国·模拟预测）设是函数的一个极值点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数，根据是函数的一个极值点得出，将化简为即可得出结果.
【详解】
因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，，
所以
.
故答案为：.
17．（2022·四川雅安·二模）函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.
【详解】
由的图象向右平移后，可得
的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以,解得
因为，解得，
当时，.
故答案为：.
18．（2022·四川·模拟预测（理））定义运算“⊕”：.设函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的表达式，根据图象平移性质得，结合对称关系即可求解的最小值．
【详解】
由题意，得．
将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
则，因的图象关于y轴对称，
所以，即，则的最小值为．
故答案为：
19．（2022·四川绵阳·二模（理））已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.
①函数在上单调递增；
②是函数的周期；
③函数的值域为；
④函数在内有4个零点.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断；
②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；
③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；
④根据值域和单调性讨论即可.
【详解】
∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.
当时，，，
，此时正弦函数为增函数，故①正确；
∵，
∴，
而，
∴不是函数的周期，故②错误；
当或，k∈Z时，，
此时，
当，k∈Z时，，
此时，
故时，是函数的一个周期，
故考虑时，函数的值域，
当时，，，此时单调递增，
当时，，，此时单调递减，
；
当时，，，此时，
综上可知，，故③正确；
由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，
当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，
其他区域无零点，
故当时，函数有2个零点，
∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；
故答案为：①③④.
20．（2022·四川广安·一模（理））定义运算“★”：．设函数，给出下列四个结论：①是的最小正周期；②在有2个零点；③在上是单调递增函数；④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②
【解析】
【分析】
①：先化简得到，故由求出最小正周期；②：求出时或；③：整体法求解函数单调区间，进而作出判断；④：根据左加右减求出解析式，作出判断.
【详解】
，故是的最小正周期，①正确；
，，故在或时，即或时，故在有2个零点，②正确；
，，此时在上单调递增，在上单调递减，故③错误；
的图象向右平移个单位长度得到，故④错误.
故选：①②