回归教材重难点02 三角函数与解三角形-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

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回归教材重难点02 三角函数与解三角形

三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。

1.已知三角函数解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；
②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
2.函数图象的平移变换解题策略：
①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为.
②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
3.解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一般多根据正弦定理把边转化成角，，，或是；
第三步：出结果，写步骤．
4.三角形中的最值与取值范围问题，常见涉及到求边长、角度、面积、周长、比值等相关内容的最值或取值范围问题．解题方法常见两大类：①建立不等式关系：建立不等式关系常见方法有基本不等式、三角形三边关系、角度等；②建立函数关系常见的几种方式：i．利用内角和这个关系，通过消元，结合三角恒等变换把目标化为这样的单角函数，进而化为求三角函数的值域问题；ii．恰当对题中的边、角设元，利用正、余弦定理等相关定理建立函数关系式，这种方法一定要结合实际意义注意引入的“元”的取值范围（即定义域）；iii．利用题中的等式关系，把某部分看出整体进行换元，消元建立单变量函数关系，把问题转化为求函数值域问题．
5.几何图形问题的处理主要有以下方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
2．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】
（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】
(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
3．（2020·全国·高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
4．（2021·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，

（1）求AC的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用余弦定理直接求解．
（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，

5．（2021·江苏·高考真题）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值;
（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；
（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．
【详解】
（1）因为，，
所以函数


∴当时，
（2）∵为锐角三角形，.
又


即
     

6．（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，

，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.


【好题演练】
1．（2022·四川·仁寿一中二模（理））在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在△中，角的对边分别为，且___________
(1)求角B的大小；
(2)，求△周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据不同的选择，结合正余弦定理，即可求得；
（2）根据余弦定理，求得的等量关系，结合基本不等式即可求得三角形周长的范围.
(1)
若选①：在△ABC中，因为，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
则，又，故.
若选②：，
则，故，
，则，
解得.
若选③：由及正弦定理，，
又，所以，
即，因为，所以，
又，得.
综上所述：选择①②③，都有.
(2)
根据（1）中所求，，又，
故由余弦定理可得
则，即，
当且仅当时取得等号，又，

△周长的取值范围为.
2．（2022·四川成都·二模（理））已知函数，其中，且．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，根据可求得，进而得到；令，解不等式即可求得所求的单调递增区间；
（2）由可求得，根据同角三角函数关系求得，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果.
(1)
，
，，
解得：，又，，；
令，解得：，
的单调递增区间为；
(2)
由（1）知：，；
当时，，，
.
3．（2022·四川·三模（理））已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由①②Þ③：利用正弦定理化简①，可求得；结合三角形的面积公式求得，由此证得③.由①③Þ②：利用正弦定理化简①，可求得；结合向量运算求得，进而证得②.由②③Þ①：结合三角形面积公式以及向量运算求得，结合正弦定理证得①.
【详解】
由①②Þ③：
由可得，
即，即，
即，而，所以，
由，可得，
所以．
由①③Þ②：
由可得，
即，即，
即，而，所以，
由可得，则，
所以．
由②③Þ①：
由可得，
由可得，即，所以，
又，，所以，即，
所以，
所以，即．
4．（2022·四川绵阳·二模（理））在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；
(1)
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
(2)
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
5．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据且，求出，再根据余弦定理可求出；
（2）根据正弦定理求出、，进而求出、，再根据两角差的余弦公式可求出结果.
(1)
因为，且为三角形内角，所以或，
又，所以，
所以，
所以.
(2)
由（1）知，则，得，
得，解得，
则，，
则
，
故．
6．（2022·江西·二模（理））如图，在四边形中，，，，．

(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接由正弦定理求解即可；
（2）先求出，再借助余弦定理求即可.
(1)
中，；
(2)
，，
所以，
所以．
7．（2022·陕西渭南·二模（理））如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，
求：
(1)的值；
(2)边的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）在中运用余弦定理的推论即可求解（2）在中，用两角差的正弦求出，再用正弦定理即可求解
(1)
在中, 由余弦定理的推论得
,
,
,
,

(2)
,
,
,



,
在中, 由正弦定理得
,

8．（2022·陕西西安·二模（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若的外接圆半径为2，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，由正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）根据的外接圆半径为2，且，得到，再利用三角形面积公式求解.
(1)
解：因为，
所以，即，
所以，
因为，
所以；
(2)
因为的外接圆半径为2，且，
所以，即，
所以.
9．（2022·吉林白山·一模（理））在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，为该曲线上一动点.

(1)当时，求的直角坐标；
(2)若射线逆时针旋转后与该曲线交于点，求面积的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）令，由此求得的值，进而可求的直角坐标.
（2）设出两点极坐标，通过三角形面积公式求得面积的表达式，，将表达式转换为关于的二次函数，即可求得面积的最大值.
(1)
因为，所以，，
因为，所以或，所以的极坐标为或，
故的直角坐标为或
(2)
设，，则.表
因为，，
所以.
令，则.
所以，
当时，有最大值，此时，，
故的最大值为.
10．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.
(1)求的面积；
(2)若是边上一点，且，求的长.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件结合正余定理计算出边a的值，再利用面积公式计算作答.
（2）由（1）结合余弦定理求出角A，再利用余弦定理计算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：
，由余弦定理得：，即，
则，而，解得，，，
所以的面积是.
(2)
由（1）及余弦定理得，而，则，
在中，由余弦定理得，解得，
所以的长为.
11．（2022·山西临汾·二模（理））内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解作答.
（2）利用正弦定理角化边，结合勾股定理及直角三角形边角关系求出即可作答.
(1)
在中，由正弦定理及得，，
于是得，化简整理得，
即，而，则，又，
所以.
(2)
因为，由正弦定理得：，则，
由（1）知，在中，，，即，于是解得，
显然有，即，则，
所以.
12．（2022·山西·一模（理））如图，圆内接四边形中，，，.

(1)求；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理求边；（2）先求出角D，利用余弦定理和基本不等式得到的最大值，进而求出面积的最大值
(1)
在中，由正弦定理得，即.
所以.
(2)
因为四边形内接于圆，故.
设，，在中，由余弦定理得：
.
因为，所以，即，当且仅当时等号成立.
所以
所以面积的最大值是.
13．（2022·河南·模拟预测（理））已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为，角B的平分线交AC于D，且，求b．
【答案】(1)；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件，根据正弦定理边角互化即可求B；
(2)由可的a＋c＝5，根据可得ac＝4，再结合余弦定理即可求出b.
(1)
由正弦定理及，得，
∴，
∵，∴；
(2)
∵，
∴，即．
又，∴．
由余弦定理得：，
∴．
14．（2022·河南·模拟预测（理））在△ABC中，角所对的边分别为，已知.
(1)求的大小；
(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）可得，化简可求出，从而得到的大小；
（2）由的面积等于可得，利用余弦定理和基本不等式可求出中线AD长最短时AB的边长.
(1)
可得，
即，因为
从而，而，
所以.
(2)
，

当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故.
15．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．

(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；
（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；
选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，利用锐角三角函数的定义，得出角 ，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解.
(1)
因为，
所以，
故；
(2)
选①．
因为，
所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得
所以，故，
在中，因为，所以，
又．

选②，
设，则，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，则
,，
所以，
所以．
所以.
16．（2022·贵州·模拟预测（理））在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，.
(1)求A；
(2)若，求c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和二倍角公式求出，即可求出；
（2）由余弦定理得.分别由C为锐角和B为锐角，列不等式，求出c的范围.
(1)
由题意，.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以,所以，
则.
(2)
由余弦定理得.
是锐角三角形，若C为锐角，则，把代入得，，
若B为锐角，则，把代入得，，
故.