查补易混易错点02 不等式-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

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查补易混易错点02 不等式高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握不等式的相关性质，理解比较两数(式)大小的理论依据，特别要重视不等式性质的灵活运用.高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题.高考对线性规划的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用线性规划求最值和求取值范围的问题.高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在第5题进行考查.易错点1　不能正确应用不等式性质【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．易错点2　忽视基本不等式应用的条件【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．易错点3　解不等式时转化不等价【突破点】　 如求函数f(x)·≥0可转化为f(x)·>0或f(x)·＝0，否则易出错．易错点4　解含参数的不等式时分类讨论不当【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易错点5　不等式恒成立问题处理不当【突破点】　 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．易错题6 利用同向相加求范围出错【突破点】  利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.易错题7  解分数不等式忽略分母不为零【突破点】  解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如. 易错题8  连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立【突破点】 连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.易错题9  混淆单变量与双变量【突破点】(1) 恒成立的最小值大于零；(2)恒成立；(3) 使得成立的最大值大于零；(4) 使得恒成立；【真题演练】1．（2021·山东·高考真题）不等式组表示的区域（阴影部分）是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】用特殊点进行验证和边界的虚实线进行排除可得答案.【详解】将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，将点代入不成立，则点不在不等式所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除AC；不包括边界，用虚线表示，包括边界，用实线表示，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）若，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A正确；B.若，，，可知B不正确；C.若，，，故C不正确；D. 若，，，故D不正确.故选：A3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B4．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．6．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.  7．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（       ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【模拟题演练】1．（2022·陕西陕西·二模（文））已知x，y满足不等式组，且目标函数的最大值为180，则实数m的值为（       ）A．60 B．75 C．50 D．80【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，根据最大值列方程，从而求得的值.【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图：由可得：，平移直线；由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时z最大，，解得.故选：A2．（2022·江西·芦溪中学高三期末（文））设满足约束条件，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，目标函数，即表示斜率为-1纵截距为z的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点A时，其纵截距最大，z最大，，所以的最大值为4.故选：D3．（2022·甘肃平凉·二模（文））不等式组表示的可行域的面积为（       ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域即可得结果.【详解】作出不等式组表示的可行域，由图可知，可行域的面积为，故选：C.4．（2022·四川宜宾·二模（文））若满足则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入目标函数即可得解.【详解】解：由实数满足作出可行域如图所示：令，则，联立，得，由图可知当直线过点时，取得最大值，为.故选：D.5．（2022·陕西咸阳·二模（文））若，且，则下列结论中正确的是（       ）A．的最小值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最大值是【答案】D【解析】【分析】根据、、，利用基本不等式依次求解最值即可.【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A错误；对于B，（当且仅当时取等号），，B错误；对于C，（当且仅当时取等号），，C错误；对于D，（当且仅当时取等号），，D正确.故选：D.6．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（       ）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C7．（2022·全国·模拟预测（文））如果满足约束条件，则的最小值为（       ）A．-3 B．8 C．9 D．3【答案】D【解析】【分析】根据不等式组先画出可行域，再根据目标函数中z的几何意义求最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得，由目标函数得，可知当直线经过点时，其纵截距最大，最小，最小值为.故选：D.8．（2022·安徽安庆·二模（文））如图，在中，点在边上，且.过点的直线分别交射线、于不同的两点、.若，，则（       ）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】B【解析】【分析】利用三点共线的结论可得出，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】先证明结论：设为与、、不在同一直线外的一点，三点、、共线且.若三点、、共线，可设，其中，则，所以，，设，则，所以，三点、、共线且.若且，则，所以，，可得，故三点、、共线，即三点、、共线且.所以，三点、、共线且.本题中，连接，则，因为、、三点共线，所以，由题意可知且，于是，当且仅当时，取到最小值.故选：B.9．（2022·全国·模拟预测（文））已知，条件，条件，则是的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；【详解】解：因，由，得：，则，当且仅当时取等号，因此推得出，即充分性成立，取，满足，但，即推不出，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选 ：A10．（2022·四川师范大学附属中学二模（文））已知O为坐标原点，点M的坐标为，点N的坐标满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作出可行域，利用数量积的坐标表示得，令，利用直线纵截距的几何意义求解最小值.【详解】作出可行域如图所示，由题意，，令，由图可知，当直线过点A时，取最小值，联立 ，得，所以的最小值为.故选：D11．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数的一个极值点为1，若，则的最小值为（       ）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得，则，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9.故选：B.12．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足，若存在最大值，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】，分，和三种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：，①当，即时，，则的最大值为1，符合题意；②当，即时，则，所以，所以，当且仅当时取等号，此时有最小值，无最大值，与题意矛盾；③当，即时，则，当，即时，，所以，不妨设，则，即，故，此时无最大值，与题意矛盾；当，即时，，所以，当且仅当时取等号，此时有最大值，符合题意；当，即时，恒不成立，不符题意，综上所述，若存在最大值，.故选：C.13．（2022·山西临汾·二模（文））已知正数a，b满足，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出的最小值.【详解】因为正数a，b满足，则，当且仅当即时取等. 则的最小值为.故答案为：.14．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知，，.则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】首先根据，即可得到，结合条件可建立关于的不等式，解关于的不等式即可得出的最小值,进而得出结果.【详解】因为，，所以，当且仅当时等号成立，即，解得或（舍去）所以的取值范围为.故答案为：15．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】11【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解.【详解】解：如图所示，画出可行域，联立，解得，即，由，得，由图可知当直线经过点时，z取得最大值，最大值为11．故答案为：11.16．（2022·安徽安庆·二模（文））若，满足，且的最大值为14，则实数的值是___________.【答案】2【解析】【分析】画出可行域，依据线性规划的方法去求实数的值即可.【详解】画出表示的可行域如图由得，则；由得，则；联立得，则当直线经过点时，在y轴截距最大，即取最大值14，则，所以故答案为：217．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）在中，点F为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为___________.【答案】12【解析】【分析】由题得，且，再利用基本不等式求解.【详解】解：∵，且点F在线段上，则，且，则，当且仅当时等号成立.所以的最小值为12.故答案为：1218．（2022·重庆·高三阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】由为，转化，结合均值不等式，即得解【详解】因为，所以=2，当且仅当，即，即时，等号成立.故答案为：219．（2022·湖南·一模）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为_________．【答案】1【解析】【分析】由得，代入，变形后根据基本不等式即可求的最大值以及此时的条件，根据此条件即可求的最大值.【详解】由得，故，当且仅当，即时取得最大值，此时，则，当时取得最大值故答案为：1.20．（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.【答案】##【解析】【分析】由题意，，故，结合均值不等式，即得解【详解】∵，且满足，∴，=，当且仅当时，的最小值为.故答案为：