回归教材重难点02 三角函数与解三角形-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

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回归教材重难点02 三角函数与解三角形

三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。

1.已知三角函数解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；
②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
2.函数图象的平移变换解题策略：
①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为.
②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
3.解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一般多根据正弦定理把边转化成角，，，或是；
第三步：出结果，写步骤．
4.三角形中的最值与取值范围问题，常见涉及到求边长、角度、面积、周长、比值等相关内容的最值或取值范围问题．解题方法常见两大类：①建立不等式关系：建立不等式关系常见方法有基本不等式、三角形三边关系、角度等；②建立函数关系常见的几种方式：i．利用内角和这个关系，通过消元，结合三角恒等变换把目标化为这样的单角函数，进而化为求三角函数的值域问题；ii．恰当对题中的边、角设元，利用正、余弦定理等相关定理建立函数关系式，这种方法一定要结合实际意义注意引入的“元”的取值范围（即定义域）；iii．利用题中的等式关系，把某部分看出整体进行换元，消元建立单变量函数关系，把问题转化为求函数值域问题．
5.几何图形问题的处理主要有以下方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

【真题演练】
1．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
2．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】
（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】
(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
3．（2020·全国·高考真题（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；
（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2）[方法一]：多角换一角
，

，
，
.
[方法二]：正弦角化边
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整体点评】
本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.
4．（2020·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出；
（2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】
（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．
5．（2021·湖南·高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，

（1）求AC的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用余弦定理直接求解．
（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，

6．（2021·北京·高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】
（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.


【好题演练】
1．（2022·贵州·模拟预测（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角A，然后通过和差公式展开化简可得；
（2）余弦定理结合基本不等式可得ac最大值，然后由面积公式可得.
(1)
因为，所以由正弦定理可得，
即，
整理得，
又，所以，所以，
即，又，
所以，即.
(2)
在中，由余弦定理可得
，
所以，当且仅当时取等号，
所以，故的面积的最大值为.
2．（2022·贵州贵阳·一模（文））在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c，已知，A为锐角.
(1)求角A的大小；
(2)在①的面积为，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上.
问题：若，___________，求b､c的值.
【答案】(1)；
(2)b=4，c=.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可得，进而利用辅助角公式及三角函数的图象及性质即得；
（2）利用三角形面积公式、余弦定理及向量数量积的运算法则和定义即得.
(1)
∵，
∴，
∴，
∴即，又A为锐角，
∴，
∴，即；
(2)
选①，的面积为，
∴，
∴，又，
∴，，
∴，又，
解得；
选②，，
∴，即，
又，
∴，，
∴，又，
解得；
选③，，
∴，
∴即，又，，
∴.
3．（2022·四川宜宾·二模（文））在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角的对边分别为，______．
(1)求；
(2)，求的边上的中线的长．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①，由余弦的二倍角公式和诱导公式变形后可求得；选②，由正弦定理化边为角后可求得；
（2）利用中线向量公式，平方后结合数量积的运算可得．
(1)
选①，即，得,
，或，　
；
选②，即，由正弦定理得，
，　；
(2)
是的边上的中线，
　　　　　                 
．
4．（2022·四川师范大学附属中学二模（文））锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解
(1)
由，
，
，，，．
(2)
，，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，




，因为为锐角三角形，所以且，
则，,则，．
5．（2022·四川南充·二模（文））在①；②；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.
问题：在中，内角的对边分别为，且___________.
(1)求角；
(2)在中，，求周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；
（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.
(1)
选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
选择②：条件即，
即，.
在中，，所以，则，
所以，所以.
(2)
由（1）知，
由余弦定理知：
所以得

所以，当且仅当时，等号成立
所以求周长的最大值为.
6．（2022·江西·二模（文））在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
(1)求角C；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①由切化弦，根据诱导公式，二倍角公式化简可得；选②由数量积公式及三角形面积公式化简可得即可求解；若选③由正弦定理角化边后，再由余弦定理求解即可得解；
（2）由正弦定理边角互化后，利用三角形面积公式及三角恒等变换可得正弦型三角函数，根据角的范围求值域即可得解.
(1)
若选①，由，得，
即，
∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选②，由，，
∴，∴．
又∵锐角，∴，∴．
若选③，∵，
由正弦定理，得，
即，由余弦定理，得．
又∵锐角，∴，∴．
(2)
由正弦定理，得．
∴
．
∵锐角，∴且，∴，
∴，∴，
∴，
∴面积的取值范围为
7．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知向量，，.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用数量积坐标运算得到，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由，解得，再利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.
(1)
解：，
，
则其最小正周期；
(2)
由，且，
所以，
由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
所以该三角形面积的最大值为.
8．（2022·江西赣州·一模（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)若，求的值；
(2)若BC边上的中线长为，求a的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求得，再利用同角之间关系即可求解；
（2）利用余弦定理可求解.
(1)
由正弦定理，
又，若为钝角，则也为钝角，与三角形内角和矛盾，故
，即
(2)
取BC边上的中点，则，设
在中，利用余弦定理知
在中，利用余弦定理知
又，则
即，即，解得
又
故a的值为.

9．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））函数的部分图象如图所示：

(1)求函数的解析式与单调递减区间；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)，单调递减区间
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据图像即可写出，再由图像过即可求出其周期，则可求出，在将点带入，则可求出.由在区间上单调递减，则可求出的单调递减区间.
（2）由.
(1)
观察图象得：，令函数的周期为T，则，
由得：，而，于是得，
所以函数的解析式是．
由解得：，
所以的单调递减区间是．
(2)
由（1）知，当时，，则当，即时，
当，即时，，
所以函数在上的值域是．
10．（2022·陕西西安·一模（文））在中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）选择条件①：．由余弦定理，结合，，即得解；选择条件②：由正弦定理，可得解；
（2）选择条件①：由，可得，即得解；选择条件②：由利用两角和的正弦公式计算，结合即得解
(1)
选择条件①：．
在中，．
∵，即．
根据余弦定理得：，
解得，由于，∴．             
选择条件②：．
在中，，，，
根据正弦定理：，得．
(2)
选择条件①：．
由（1）可知，
∵，，∴，
∴．
∴是直角三角形．
∴．   
选择条件②：．
∵，
∴．
∴．
11．（2022·陕西渭南·一模（文））△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角C；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)结合正弦定理边化角和三角函数的诱导公式即可求解；
(2)结合余弦定理联立方程组即可求解.
(1)
由已知及正弦定理，
得，即.
故，可得，∵，∴；
(2)
由已知及余弦定理得，，又，
故，因此，，
∴△的面积.
12．（2022·吉林长春·三模（文））如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是以为底边的等腰三角形，平面平面，点，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）连结BD.先证明出平面，利用线面垂直的性质即可证明；
（2）取AD的中点G，连结PG.求出点到面的距离为.利用等体积法转化，即可求体积.
(1)
连结BD.因为底面是边长为2的菱形，，所以三角形BCD为正三角形，所以DF⊥BC, 所以DF⊥AD.
因为平面平面，所以平面.
因为面,所以.

(2)
取AD的中点G，连结PG.
因为是以为底边的等腰三角形，所以PG⊥AD.
因为平面平面，所以平面.
在等腰中，，,点为的中点,
由余弦定理可得：即为,代入可得：,解得：.
所以为正三角形，所以.
因为点为的中点，所以点到面的距离为.
因为三角形BCD为正三角形，且点为的中点，所以.
所以三棱锥的体积为.
13．（2022·吉林长春·模拟预测（文））在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.
(1)求的面积；
(2)若是边上一点，且，求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计算可得；
（2）首先求出，即可得到，，再根据，利用余弦定理得到方程，解得即可；
(1)
解：因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以
(2)
解：由（1）可知，解得，因为，所以，，由，即，所以，解得
14．（2022·甘肃·二模（文））如图，在圆内接四边形ABCD中，，且依次成等差数列.


(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1)
(2)10
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的性质求得，再根据余弦定理求得答案;
（2）利用圆内接四边形性质可得 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得答案.
(1)
因为依次成等差数列，
所以，又，
所以,
又，则由余弦定理得:
，
所以.
(2)
由圆内接四边形性质及，知，
在中，由余弦定理得
，
又因为（当且仅当时“=”成立），
所以，即，
则四边形ABCD周长最大值.
15．（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））已知.
(1)求的单调递增区间及其图象的对称轴；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)增区间为，图象的对称轴方程为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先对函数化简得，由可求出其增区间，由求出其对称轴方程，
（2）由，得，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域
(1)




，
由，
得，
所以的增区间为，
由，得，
所以图象的对称轴方程为，
(2)
由，得，
所以，
所以，
所以，
所以的值域为
16．（2022·安徽合肥·二模（文））在中，内角，，所对边的长分别为，，，满足______．
从①是，的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(1)求的大小；
(2)若是的角平分线，且，，求的面积．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①：根据等差中项的性质以及正弦定理的边化角公式得出的大小；选②：根据正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出的大小
（2）由结合三角形面积公式得出，再由公式得出的面积．
(1)
若选①：
是，的等差中项，，即．
由正弦定理得，
即
，
，
注意到，所以，即．
，，，即．
若选②；
由题设及正弦定理得．
，，①．
，，∴①可化为．
，，，，．
(2)
是的角平分线，．
，即，
即，，，
．