模拟冲刺过关试卷03-【查漏补缺】2022年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

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2022年新高考三轮冲刺模拟试卷03满分：150分  时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合交集与补集概念进行计算.【解析】由题意可得：，则.故选：D。2．设复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】由，得，．故选：D．3．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，则四棱锥外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理判断平面，过正方形的中心作垂线，再过中点作此垂线的垂线，交点即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【解析】由题意可知，，所以，，又，所以平面，过正方形的中心作垂线，再过中点作此垂线的垂线，交点为，此点即为外接球的球心，则外接球半径，所以四棱锥外接球的表面积.故选：C。4．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】，，应该是本身f(x)减区间的子集.【解析】∵，∴，函数在上单调递减，周期解得，故，的减区间满足：，取，且解之得.故答案为：.故选：C.5．已知，下列说法错误的是（       ）A．若，则B．（其中e为自然对数的底数）恒成立C．（e为自然对数的底数）D．若，则恒成立【答案】C【分析】对于A，利用基本不等式判断作答；对于B，构造函数，讨论单调性判断；对于C，构造函数，讨论单调性判断；对于D，利用函数单调性判断并作答.【解析】对于A选项，因，，，A正确；对于B选项，，在上递增，则，即，，B正确；对于C选项，，，在上单调递减，则，，C错误；对于D选项，，在上递增，而，即，则，D正确，故选：C6．若，则（       ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】应用倍角正余弦公式及商数关系将目标式化为，结合已知即可求值.【解析】由题意知，，故选：B.7．若函数恒有两个零点，则的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令得出，作出两函数的图象，根据图象判断两函数最值的大小关系，得出的范围．【解析】解：令得，令，则，在上单调递增，在上单调递减，做出和的函数图象，如图所示：有两个零点，和的函数图象有两个交点，，解得，即．故选：C．8．为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了个这类工程，得到如下数据（单位：天）：，，，，，，，，，．若该类工程的工期（其中和分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率约为（     ）附：若随机变量服从正态分布，则，，．A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再利用正态分布的性质求解.【解析】由题得，，所以.所以所以.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．若，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用二项展开式的通项公式计算项的系数可得，，判断A，B；利用赋值法计算判断C；计算出可判断D作答.【解析】二项式的展开式通项公式为，，，A，B都正确；显然，展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，，C正确；，，，，因此，，D不正确.故选：ABC10．己知△ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B=，2=，AP=则下列说法正确的是（       ）A．=+ B．a+3c的最大值为C．△ABC面积的最大值为 D．a+c的最大值为2【答案】AD【分析】利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断B，C，D.【解析】对于A，在△ABC中，因2=，则，A正确；在△ABP中，由余弦定理得：，当且仅当时取“=”，于是得当时，，，C不正确；在△ABP中，令，则，，由正弦定理得：，则，，其中锐角由确定，而，则当时，，取最大值，D正确；而，则的最大值应大于的最大值，又，即a+3c的最大值为是不正确的，B不正确.故选：AD。11．已知圆与圆交于不同的两点，下列结论正确的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】两个圆的方程相减即可求公共弦所在直线方程，据此即可逐项求解.【解析】   ①   ②①－②即得公共弦AB所在直线方程：，将A的坐标代入得：   ③，故B正确，将B的坐标代入得：   ④③－④得：，故A错误；两圆圆心分别为，因为两圆半径相等，所以中点和AB中点为同一点，故，C正确，，D错误.故选：BC.12．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则（       ）A．平面B．三棱锥的体积为4C．存在点，使得D．线段的长度的取值范围为【答案】ACD【分析】选项A：由题意得到平面平面，然后根据面面平行的性质定理即可判断选项A；选项B：根据即可判断选项B；选项C：作交于，连接，当为中点时，满足；选项D：根据题意分析出当点在点或点处时，线段的长度取得最大值；当点在点处时，线段的长度取得最小值，从而可求出线段的长度的取值范围为.【解析】平面平面，平面，平面，故正确；，故错误；连接，作交于，连接，平面，为与平面所成的角，平面，为与平面所成角．直线，与平面所成角的大小相等，，所以，又，，所以点在的中垂线上，即点在线段上运动，当点与点重合时，，故正确；，为棱上靠近的三等分点，，，，，，当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为；当点在点处时，线段的长度取得最小值，最小值为，线段的长度的取值范围为，故正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是___________【答案】[3，）【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”的原则求得答案.【解析】由题意，，而函数的对称轴为：，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数的增区间为：，又因为函数在上单调递增，所以.故答案为：.14．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点A作的垂线，垂足为，设，若与相交于点的面积为，则抛物线的方程为___________.【答案】【分析】由题意得出，利用拋物线的定义求出点A的横坐标，根据相似得出，由三角形的面积公式可得结果.【解析】设，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，,所以，解得：.故答案为：15．函数的最大值为___________.【答案】【分析】对函数去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值.【解析】由题知当时，，在为减函数，；当时，，当时，，当时，，，综上可知，.故答案为：.16．设，记最接近的整数为，则__________；__________．(用表示)【答案】          【分析】先求出，观察特点得，，最接近的数字为253；由得，，判断 为奇数或偶数从而得解.【解析】，若，则，若，则，故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列满足，.(1)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有.【答案】(1)证明见解析，，(2)证明见解析，【分析】（1）由已知可得，两边同除以可得，从而可得数列是等差数列，进而可求出数列的通项公式，（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法可求出，再利用放缩法可得结论【解析】(1)由，得，，所以，因为，所以数列是以2为公差，2为首项的等差数列，所以，所以(2)因为，所以，所以，因为，所以，所以18.（12分）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量（千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照，，…分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）.(1)求直方图中的值；(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准（千瓦时）的值；(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千瓦时）的有户居民，求的分布列.【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析.【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积和为求解即可；（2）由频率分布直方图得，进而得，解方程即可得答案.【解析】(1)解：由题得解得.所以直方图中的值为.(2)解：由频率分布直方图得月均用电量小于250（千瓦时）的居民家庭所占百分比为：，同理，的居民用电量小于300（千瓦时）所以，所以，解得（千瓦时）.所以若使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准（千瓦时）的值(3)解：根据频率分布直方图，样本中用电量不小于350（千瓦时）的居民共有（户），不小于400（千瓦时）的有户居民（户），所以随机变量的可能取值为，，，，所以随机变量的分布列为：19.（12分）在平面四边形中，已知，，平分.(1)若，，求四边形的面积；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2)。【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解（2）根据正弦定理与三角比有关知识求解【解析】(1)，则，在∆ABC中，由正弦定理可知，则，则.(2)设，在∆ABC中，由正弦定理可知，即，即，在中，由正弦定理可知，即，即，即，则，解得.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点.(1)若，求证：平面平面PAD；(2)点M在线段PC上，，试确定实数t的值，使得平面MQB；(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，求直线MC与平面MQB所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)。【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可证，根据菱形的性质，可证，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）设，连接MN，根据题意，可得，可得，又，可得，结合线面平行的判定定理，即可得证.（3）如图建系，求得各点坐标，进而可求得平面MQB的法向量，根据线面角的向量求法，可求得线面角的正弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案.【解析】(1)证明：因为，Q为AD的中点，所以.因为底面ABCD为菱形，，所以为正三角形，所以，又，所以平面PQB.又平面PAD，所以平面平面PAD.(2)当时，平面MQB.证明如下：设，连接MN.因为，所以，所以.由，得，所以，所以，所以.又平面MQB，平面MQB，所以平面MQB，所以当时，平面MQB.(3)由（1）得，.因为平面平面ABCD，平面平面，PAD，所以平面ABCD.如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，则，且.设平面MQB的一个法向量为.由，得，取，则.又，设直线MC与平面MQB所成角为，则，所以，所以直线MC与平面MQB所成角的余弦值为.21.（12分）在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由已知得，，求得，即可求得方程； （2）分析设直线OA的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合可求得，再分类讨论直线OA、OB的斜率为、和直线OA、OB的斜率为、，进而求得直线方程.【解析】(1)过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，                                                                                        又C的一条渐近线方程为，则②，由①②解得，，所以双曲线C的方程为．(2)显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．联立，整理得，于是得则，同理可得，因为整理得，解得．                                        即或 （满足）．考虑到，只需分以下两种情形：①当OA、OB的斜率为、时，结合得或，同理可得或，于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，同理可得AB的方程为或或．②同理，当OA、OB的斜率为、时，直线AB的方程为，或或或综上，直线AB的方程为或。22.（12分）已知函数.(1)请研究函数在上的零点个数并证明；(2)当时，证明：.【答案】(1)4，证明见解析；(2)证明见解析。【分析】（1）函数 是奇函数，所以只要考虑 上的零点，利用函数的单调性即可；（2）构造函数，用缩放法可以证明不等式.【解析】(1)为奇函数，所以只需要研究函数上的零点个数，当时，， 是单调递减的，，，所以当时，有一个零点；当时，令 ，，是单调递增的，，，所以存在，使得，所以当时，， 单调递减的，当时，， 是单调递增的，又，所以，，所以存在使得，当时，无零点，综上可知，当时，函数有两个零点，即在上，函数有四个零点；(2)当时， ，两边取自然对数得：构造函数，即，即，即，则，于是，，所以.