预测卷03（理）-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

预测卷03

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若D为的中点，E为的平分线与的交点，且，求的值．

【答案】(1)    (2)

【解析】(1)由题设及正弦定理得，

因为，所以．

由，可得

故．

因为，故

因此．

(2)因为，

又因为，所以，即，

解之得或（舍去）．

因为为的角平分线，所以，

所以

18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABE，，，，F为棱CE的中点，P为棱AB上一点（不含端点）．

(1)求证：平面ACE；

(2)若平面PCE和平面ACE所成锐二面角的余弦值为，求AP的长．

【答案】(1)证明见解析  (2)

【解析】(1)∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面平面，

∴BC⊥平面ABE，

又∵平面ABE，∴BC⊥AE．

在中，根据勾股定理可得AE⊥BE，又，

∴AE⊥平面BCE，平面BCE，

∴AE⊥BF．

在中，，F为CE的中点，

∴BF⊥CE，又∵，

∴BF⊥平面ACE．

(2)以E为坐标原点，分别以EB，EA所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

设，，

，．

设平面CPE的法向量为，且，

则由,得，令，从而．

∵BF⊥平面ACE，∴为平面ACE的一个法向量．

由题意，

∴或（舍去），

∴．

19．2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：

(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率，则调研价值为1；被调查的企业同期增长率，则调研价值为2；被调查的企业同期增长率，则调研价值为3．以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)；(2)分布列见解析；

【解析】

(1)负增长的企业比例为

这150个企业同期产值增长率的平均数为：

(2)由题意被调查的企业同期增长率的概率为

被调查的企业同期增长率的概率为；

被调查的企业同期增长率的概率为；

由题意选取的两个企业的调研价值之和X的取值为：2,3,4,5,6

；

，

，

所以X的分布列为

20．在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．

(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；

(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)设，．

（1）记l的倾斜角为，OP的倾斜角为，则．

由得，则

所以，于是．故．

所以，

当且仅当，即时，取到“=” ．

所以的最大值为．

(2)易知，．由题意知，，

所以直线AN的方程为，

直线BM的方程为．

令，

解之得

所以点D恒在定直线上．

21．已知函数．

(1)若为的极小值点，求a的取值范围；

(2)若有唯一的极值，证明：，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

(1).

①当时，在上单调递诚，在上单调递增，所以为的极小值点．

②当时，由得或．

（ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点；

（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，所以为的极小值点；

（ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚，

在上单调递增，所以为的极大值点，

综上，a的取值范围是．

(2)根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以．

所以即证，．

设，则，

设，则，

设，则，

当时，,,,

所以，即，

所以在上单调递增．

，，又，

所以，所以，使．

因此当时，，当时，．

得在上单调递减，在上单调递增，

又，，

因此当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，得，

所以，从而原命题得证．

选做部分：在22题或者是23题选做一题

22．已知在平面直角坐标系中，曲线

的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的极坐标方程为，直线m的极坐标方程为．

(1)求和的极坐标方程；

(2)设，与l分别交于M，N两点，与m分别交于P，Q两点，且M，N，P，Q均不与原点重合，求以M，N，P，Q为顶点的四边形的面积．

【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为

(2)

【解析】

(1)的参数方程可化为，（为参数），

所以消去参数得的普通方程为，

因为，所以的极坐标方程为．

曲线的极坐标方程为．

(2)根据题意，令，，

所以．

同理令，可得

易知，则以M，N，P，Q为顶点的四边形面积为

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)

由题意知，，

当时，，得；

当时，，无解；

当时，，得；

综上，不等式的解集为；

(2)由（1）得，

作出和的图象，其中的图象是由的图象平移得到的，

当时，两图象交于点；

当时，两图象交于点；

当时，的图象恒在图象的上方；

所以的取值范围是．