专题01 三角函数与解三角形-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

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专题01   三角函数与解三角形三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.类型一：三角函数的图象及其性质例题1．已知函数．(1)若且，求的值；(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)当时，，，∴，由，，得，，又∵函数在上单调递增，∴，∴，∴，∴实数a的最小值是.例题2．已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．条件①：的最小正周期为；条件②：的最大值与最小值之和为0；条件③：．【答案】(1)见解析  (2)【分析】(1)（1）若选择①和②，则，，解得，所以所以，若选择①和③，则，解得，所以，所以，若选择②和③，则，且，这样的不存在，(2)由（1）可知，若选择①和②，，由，得，所以的增区间为，因为函数在区间上是增函数，所以实数的最大值为，若选择①和③，则，由，得，所以的增区间为，因为函数在区间上是增函数，所以实数的最大值为，此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.类型二：解三角形 例题1．在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若，求三角形面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，结合正弦定理，得，所以，又因为，所以(2)由余弦定理，得即（当且仅当等号成立）所以，即当时，三角形面积的最大值为.例题2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)试判断的形状，并说明理由；(2)设点D在边AC上，若，，求的值.【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形；(2).【解析】(1)：由已知条件，利用正弦定理可得， 即，所以，由于、B、，所以或，所以或B=C，所以为等腰三角形或直角三角形；(2)：在中，由正弦定理得，即，同理在中，有，所以，又，所以，即，所以，由（1）可知或，若，则， 所以,因为，，所以，又，所以，所以，即BD平分，所以，即，所以，解得或（舍去），所以；若，则为直角三角形，BD为斜边，则，与题设矛盾，故舍去；综上，的值为.例题3．在中，角的对边分别为，已知．(1)求A；(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)由正弦定理可得：；整理得：，由余弦定理可得：，因为，所以；(2)由题意可得：，则的外接圆直径，设则，则的周长，正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．     1．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．(1)若，，求的值；(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值． 2．（2022·广东高州·二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积． 3．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且的面积为．(1)求a，b，c的值；(2)求的值． 4．（2021·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求证：B为钝角；(2)若△ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．请证明使得△ABC存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b的值．  5．（2022·安徽六安·一模（文））在中，角A，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求.     1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C. 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形． 3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC． 5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．