专题02 数列-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

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专题02 数列数列一般作为全国卷第17题或第18题，2021年全国乙卷出现在19题。主要考查刘总和等差数列等比数列的性质求通项公式，以及利用性质求值，再者进行数列求和，一般分为错位相减，裂项求和，分组求和以及绝对值求和等。类型一：利用通项公式及错位相减求和例题1．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当时，，得即，即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．(2)由（1）知，则 （1） （2）（1）－（2）得所以类型二：选择性求通项公式及数列裂项相消求和例题 2 （2021·河南·高三阶段练习）已知数列{}的前项和为，在①＝，②＝这两个条件中任选一个，并作答．(1)求数列{}的通项公式；(2)设＝，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【解析】若选择①＝，则当时，，则，又当时，，解得，故是首项为，公比为的等比数列，则；若选择②＝，则当时，，则，又当时，，满足，则.(2)因为＝，则，故.即数列的前项和.例题3 （2022·重庆市求精中学校一模）设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， .(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)当时，，当时，符合上式，，∵数列为等比数列，，，设的公比为，则，而，，解得或，由单调递增，所以，故.(2)， .类型三： 数列分组求和例题4．（2022·山东莱西·高三期末）已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】(1)：因为，，为等差数列，所以，所以，两式相减得，即，所以数列是以2为公比的等比数列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)：由（1）得不等式为，整理得，令，则，所以当，时，，即，当，时，，即，所以当时，取得最大值，所以，即，解得.所以实数m的取值范围为.类型四： 数列综合应用例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为（1）求的公比的值；（2）求的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵成等差数列，∴ ，即，又，又解得或(舍).记，当时，又也符合上式，.而，，，两式相减得，.而也符合上式，故.数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列，或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，所以，故，又，，成等比数列，所以，故，将代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，故，即对任意恒成立，而在上单调递增，故在时单调递增，，所以，故的取值范围为.2．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.(2)由（1），得，所以，，两式相减得，所以.3．（2022·山西运城·高三期末）已知数列的前项和，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)，算得当时，；得到，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，得到(2)由，得到.则，.4．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)解：因为，所以，两式相减可得，所以，令，可得，所以，所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以.(2)解：由题意，可得，所以，所以，，两式相减可得所以.5．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，所以.当时，．当时，由得．上述两个等式作差得，即，又因为满足，所以.(2)解：因为，所以.所以，所以．所以，即．1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设， ⑧则． ⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得 ，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二． [方法四]：导函数法设，则．又，所以，下同方法二．2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知 ①于是． ②由①②得． ③又， ④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]： 由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）[方法一]：由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】选①②作条件证明③：[方法一]：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二] ：设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.6．（2021年全国新高考II卷数学试题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.