专题08 不等式选讲-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训

这是一份专题08 不等式选讲-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训，文件包含专题08不等式选讲-大题小卷冲刺2022年高考数学大题限时集训解析版doc、专题08不等式选讲-大题小卷冲刺2022年高考数学大题限时集训原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
专题08 不等式选讲不等式选讲作为高考选做题目之一，相对来说难度较小，一般考查解绝对值不等式，柯西不等式以及常见的不等式的解答。类型一：绝对值不等式例题1   1．设函数，.(1)解关于的不等式；(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因函数，，则，当时，，解得，无解，当时，，解得，则有，当时，，解得，则有，综上得：，所以不等式的解集是.(2)依题意，，，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，当时，，则有，解得，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，于是得，综上得，所以实数的取值范围.例题2．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意实数x，不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，，则不等式，即，当时，，解得，于是得，当时，，解得，无解，当时，，解得，于是得，综上得：或，所以不等式的解集为.(2)，不等式成立，即，不等式成立，而，因此，，显然有，，解得：，所以实数a的取值范围是.  类型二：柯西不等式例题 3 设函数．(1)求函数的最小值；(2)记函数的最小值为m，若a，b，c为正数，且，求的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当x＜－1时，f(x)＞3；当－1≤x<时，<f(x)≤3；当x≥时，f(x)≥，∴函数的最小值为；(2)由(1)得，∴由柯西不等式可得：，当且仅当时取等号，∴的最大值是． 例题 4．已知.(1)解不等式(2)已知 最小值为m，若a，b，c∈R+，且求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)：因为令，即或或解得或或，所以不等式解集为：；(2)：由，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的最小值，，由柯西不等式可得，当且仅当时取等号. 类型三：不等式综合应用例题 5 ．已知函数.(1)若对任意的，恒成立，求正实数t的最小值M；(2)若，，求证：.【答案】(1)2(2)证明见解析【解析】(1)根据题意，恒成立恒成立.因为，所以当时，的最小值为.所以，即.所以t的最小值为.(2)因为，当且仅当时，取等号，所以. 1．（2022·山西吕梁·高三开学考试（理））已知，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，，，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)当时，，，或，或，解得，所以不等式的解集为．(2)证明：（当且仅当时，即时等号成立）（当且仅当时，即时等号成立）． 2．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知.(1)解不等式；(2)若，关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)依题意，所以或或解得，所以不等式的解集为.(2)因为，所以（当且仅当时等号成立），因为对关于的不等式成立，所以，解得或.所以满足条件的实数的取值范围是. 3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知，函数的最小值为3，．(1)求的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题意，，得或，又，故的值为．(2)画出，的图象如图，由图可知，函数与相交于点，所以的解集为． 4．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知．(1)解不等式；(2)若，关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，，不等式化为以下3个不等式组：或或，解，即，无解，解，即，无解，解，即，解得，所以不等式的解集为．(2)依题意，(当且仅当时取“=”)，因为对关于x的不等式成立，则，解得或，所以满足条件的实数m的取值范围是.   1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，所以当时，，此时的解集为；当时，，此时的解集为，所以当时，求不等式的解集为(2)：因为当时，恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为由绝对值三角不等式得：，所以恒成立，即，解得所以实数a的取值范围是 2．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)求不等式的解集；(2)记的最小值为m，若，，，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)即为，记∴不等式的解转化为：；或；或，综上，原不等式的解集为.(2)由题可知，，当且仅当时取等号.∴，∴，即为，则，当且仅当，即，即，时取等号.3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)，，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，当时，无解，故不成立；当时，，解得；当时，，解得.综上所述，.(2)因为，所以，因为，所以，所以，所以由题意得解得. 4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））设函数，.(1)解关于的不等式；(2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因函数，，则，当时，，解得，无解，当时，，解得，则有，当时，，解得，则有，综上得：，所以不等式的解集是.(2)依题意，，，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，当时，，则有，解得，当时，，而在上单调递增，当时，，于是得，于是得，综上得，所以实数的取值范围. 5．（2022·山西晋中·二模（理））已知函数．(1)求的解集；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故的解集为．(2)由于，所以，即，因为，故，即．故a的取值范围为．    1．（2021·全国卷（理））已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【解析】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.[方法二]【最优解】：零点分段求解法   当时，．当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.[方法二]：分类讨论+分段函数法 当时，则，此时，无解．当时，则，此时，由得，．综上，a的取值范围为． 2．（2021·全国·（理））已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，. 3．（2020全国卷（文））已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为． 4．（2020·全国·（文））已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为. 5．（2020·全国·）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）［方法一］【最优解】：通性通法，.均不为，则，．［方法二］：消元法由得，则，当且仅当时取等号，又，所以．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．［方法二］：不妨设，因为，所以，且则关于x的方程有两根，其判别式，即．故原不等式成立．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．