专题06以椭圆为情景的定值问题——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

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椭圆必会十大基本题型讲与练06  以椭圆为情景的定值问题典例分析   1、已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证： 为定值.2．已知动直线与焦点坐标为，离心率为的曲线相交于两点（为曲线的坐标原点），且.（1）求曲线的标准方程；   （2）证明：和都为定值.3．已知椭圆过点，且半焦距．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知，过点的直线l与椭圆相交于两点，直线与x轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．方法点拨定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. 求定值问题常用的方法有两种：（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以；三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.巩固练习  1．已知过原点的动直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（ ）A．    B．   C．    D．   2．“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（    ）A． B． C． D．3．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（    ）A． B． C． D．4．设P为椭圆C：（）上的动点，，分别为椭圆C的左、右焦点，为的内心，则直线与直线的斜率积（    ）A．非定值，但存在最大值且为 B．是定值且为C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为5．已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）A． B． C． D．6．（多选题）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（    ）A．B．直线与直线的斜率之积为C．直线与直线的斜率之积为D．若直线，，的斜率之和为，则的值为7．（多选题）已知，是椭圆：的左､右焦点，且，分别在椭圆的内接的与边上，圆是的内切圆，则下列说法正确的是（    ）A．的周长为定值8B．当点与上顶点重合时，圆的方程为C．为定值D．当轴时，线段交轴于点，则8．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为，，若，则椭圆的方程为________.9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过动点M(m,0)(0<m<b)的直线交y轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点。若过点P作y轴的垂线交C于另一点Q，设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，则是一个定值，这个定值为_____________。10．椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点处切线斜率为，则______.11．已知是椭圆的左右顶点，点分别在矩形的边上，，且与的交点在椭圆上（第一象限内），则_______．12、已知椭圆的焦距为，且经过点.过点的斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点，直线交轴于点.（1）求的取值范围；（2）试问： 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.13、已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；14、已知椭圆 ，分别是其左、右焦点。（1）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．15、设椭圆的右焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于,两点，点的坐标为．设为坐标原点，求证为定值．16、已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.17、已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)证明：为定值．18、如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)(I)试用表示：(II)证明：原点到直线l的距离为定值.19、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C2的标准方程；(2) 设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．20、已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．