专题05+解析几何-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【长郡中学】

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专题05 解析几何
一、单选题
1. 【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，其准线与双曲线交于点，点在轴上.若最大，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为双曲线的离心率为,即,
又,所以,即,
因此抛物线的准线方程为,
联立,
设,由可得,
结合下图可知,当点运动到,即三点共线时,最大,

设此时,则有,即,
因此,
故选:D.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的离心率，所以，解得，
则双曲线的焦距.故选：D.
3. 【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以.
又因为，所以.
又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，
，，，
得，解得，，得，
所以椭圆方程为.
故选：D.
4. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4的半径为2，所以，
设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，

所以，
所以，当且仅当四点共线时，等号成立，
又|PQ|－|PF|的最小值为2－6，所以，即，
所以，解得或（舍）.
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：C.
5. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，点是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，记，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设、，直线：（斜率显然不为0）.
，得，显然成立，
，
点是线段的中点，所以，所以，
所以，
，
，
所以.
故选：B.
6. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，
∵圆的一条切线与双曲线C：没有交点，
∴，∴，∵双曲线的离心率，∴双曲线的离心率的取值范围是，故选B.
7. 【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】设抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点．
点P作抛物线的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由A，B是抛物线上的点知，
x2＝4y⇒，
所以切线PA的方程为：，
切线PB方程为，
因为点在切线PA，PB上，
所以⇒直线AB的方程为mx＝2（y﹣1）．
故直线AB过定点（0，1），（即AB恒过抛物线焦点），
则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB，
数形结合知当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．
故选：D．
8. 【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．

在中，当时，则有．①
由得，代入消去整理得．②
结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，
由①②两式消去得，
整理得，
解得或（舍去），
∴．
故选C．
9. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为
其上一点到抛物线的焦点距离为6，则
解得，即抛物线的准线方程为
故选：A
10. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，抛物线为，可令直线为，若，，
∴联立直线与抛物线得且，则，
∴，又的重心为点，即，
∴，则到直线的距离，
∴当时，.
故选：C.
11. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在的左支上，且，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由，
所以，
可得，
不妨设，，所以，
所以点在以为直径的圆上，
即是以为直角顶点的直角三角形，
故，即．
又．
所以，
解得，
所以．
故选：C
12. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】圆的圆心到直线的距离为1，则
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.
13. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为：，
又由已知圆的方程可得圆心为，，半径，
设圆心到渐近线的距离为，则，
所以，即，所以，
故选：C．
14. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】已知、是双曲线（，）的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且到渐近线的距离为b，
∴中，，，又，所以，
∴，∴，又点在抛物线上，
∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离，
∴由抛物线的定义得到：，
∴，∴，
∴.
故选：D.

15. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】已知双曲线C: ，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(1，) B．(1，)
C．( ，) D．(1，)
【答案】B
【解析】由题可知双曲线的其中一条渐近线为，即，
又该圆的圆心为，故圆心到渐近线的距离为，
则由题可得，即，
又，则，解得，即
则，又，
故离心率的取值范围是.
故选：B.
16. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
设双曲线的一条渐近线方程为，
可得直线的方程为，与双曲线联立，
可得，，
设，，
由三角形的等面积法可得，
化简可得，①
由双曲线的定义可得，②
在三角形中，为直线的倾斜角），
由，，可得，
可得，③
由①②③化简可得，
即为，
可得，则．
故选：A．
二、多选题
1. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，两条渐近线的夹角正切值为，直线：与双曲线的右支交于，两点，设的内心为，则（ ）
A．双曲线的标准方程为 B．满足的直线有2条
C． D．与的面积的比值的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A选项，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，因为，所以，从而，解得或（舍去），所以，又，所以，，所以双曲线的标准方程为，故A正确；B选项，直线的方程，即，则直线恒过右焦点，又过焦点的弦最短为，所以满足的直线只有1条，B错误；
C选项，由双曲线的定义可知，，即，因此是的内切圆在边上的切点，因此，C正确；
D选项，由题知
，因为，所以，D正确.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】曲线为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（ ）


A．曲线C只有两条对称轴
B．曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线C上任意一点到标原点O的距离都不超过2
D．曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2
【答案】CD
【解析】根据图形可得，曲线C有四条对称轴，，；即A错；
由可得；即圆与曲线相切于点，，，，
内切于圆；
故曲线C上任意一点到坐标原点O的距离的最大值为，即C正确；
又圆位于第一象限的整点只有，但，所以曲线C在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C在二三四象限也不过整点；
又显然在曲线上，所以曲线只过一个整点，故B错；
设曲线C上的任一点的坐标为，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积；由可得，当且仅当时，等号成立，所以，即D正确.
故选：CD.
3. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】已知，分别为双曲线：的左､右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线.则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
【答案】ABD
【解析】到的距离为，，解得，
又渐近线方程为，则，结合可解得，
则双曲线的方程为，故A正确；
为的平分线，，
又，，故B正确；
由双曲线定义可得，则可得，
则在中，，
则，
则，故C错误；
在中，，
设点到轴的距离为，则，
即，解得，故D正确.
故选：ABD.
4. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”C.已知点是“曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“曲线”C关于原点O中心对称；
B．
C．“曲线”C上满足的点P有两个；
D．的最大值为.
【答案】ABD
【解析】对A中，设动点，可得C的轨迹方程为，
把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；
对B中，因为，故，
又，所以，
即，故，故B正确；
对C中，若，则在的中垂线即y轴上.
故此时，代入，
可得，即，仅有一个，故C错误；
对D中，因为，故，
，
因为，，故.
即，所以.
又，当且仅当P，，共线时取等号.
故，即，解得，故D正确.
故选:ABD.
5. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为
B．以AB为直径的圆与准线相切
C．线段AB长度的最小值是
D．的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
对于A中，由抛物线上的点到点的距离为，抛物线的定义，可得，
解得，所以抛物线的方程为，所以A不正确；
对于B中，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，
则线段的中点为到准线的距离为
根据抛物线的定义，可得，所以，
所以，即圆心到准线的距离等于圆的半径，
即以AB为直径的圆与准线相切，所以B正确；
设，由抛物线的定义，可得，
当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为，
联立方程组，解得，此时
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，所以，
综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确；
设直线的方程为，联立方程组，整理得，
可得，
则，则
则点到的距离为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.

6. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（ ）
A．的最小值为
B．已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是4
C．设，则
D．过与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
【答案】ABC
【解析】由题意知，，抛物线的焦点，准线方程为，
对于A，当轴时，取得最小值为，所以A正确；
对于B，曲线上的两点，到点的距离之和为，所以点，的横坐标之和为，则线段的中点横坐标为4，所以B正确；
对于C，设，则，当且仅当三点共线时取等号，所以C正确；
对于D，当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
1. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】已知点、关于坐标原点对称，，以为圆心的圆过、两点，且与直线相切.若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为_______.
【答案】
【解析】为圆的一条直径，是弦的中点，所以，圆心在线段的中垂线上，

设点的坐标为，则，
圆与直线相切，则，，整理得，
所以，点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
，
当为定值时，则点与点重合，即点的坐标为.
因此，存在定点，使得当点运动时，为定值.
故答案为：.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知直线与双曲线有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
双曲线的渐近线方程为，
若直线与双曲线有两个交点，
则，
即，即，
所以，，即，
故答案为：.
3. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】已知直线与圆相交于A､B两点，O为坐标原点，且的面积为，则实数m=______.
【答案】
【解析】，，，，
∴圆心O到直线的距离，即，.
故答案为：
4. 【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知一簇双曲线En：x2﹣y2＝（）2（n∈N*，且n≤2020），设双曲线En的左、右焦点分别为F、F，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnF的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+…a2020＝_____．
【答案】
【解析】
如图所示，

设Pn，与圆Gn分别切于点Bn，．
根据内切圆的性质可得：,
又点Pn是双曲线En右支上一动点，
∴，
∴．
∴．
可得：an．
可得：a1+a2+…a2020．
故答案为：．
5. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是________．
【答案】
【解析】

解：设右焦点为，由题意可得直线的方程为：，设，，
连接，，因为，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
整理得到即，
故，
所以可得，代入直线的方程可得，
将的坐标代入椭圆的方程可得：，
整理可得：，即，
解得：，由椭圆的离心率，
所以，
故答案为：．
6. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝_____
【答案】4
【解析】设，则直线OM的方程为，即，代入y2＝2px（p＞0且p≠1），
可得，即，
由题意可得显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，
即，显然，否则AB过原点，不符合题意，
所以O到直线AB的距离，N到直线AB的距离


因为
所以，因为
所以，解得
故答案为：4．

7. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．
【答案】2
【解析】如图所示：

由，解得，
∴
由，解得，
所以
由，解得，
所以，
由抛物线的定义得：
∴，
∴周长，
，
.
，

故答案为：2，．
四、解答题
1. 【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】已知椭圆的右焦点，，，是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足.
（1）求椭圆的方程.
（2）若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点、，求时，求的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）由题可设，，，
所以两式相减得，
.即，
所以，又，，所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线方程为，交椭圆于点，.
联立方程
，得，
，.
所以

=，
因为直线与圆相切，所以，
即，代入，得.
所以
因为，所以，
化简得，或（舍）.
所以或，
故k的取值范围为.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）32.
【解析】
（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得，
故抛物线的方程为.
（2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，联立方程组
消去，整理得.
设点.，则.
因为为弦的中点，所以.
由，得，故点.
同理可得.
故，.
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为32.
3. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D，E两点，且|DE|＝4.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l过点A(2，0)且与抛物线C交于P，Q两点，点R在抛物线C上，点N在x轴上，，直线PR交x轴于点B，且点B在点A的右侧，记△APN的面积为S1，△RNB的面积为S2，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得，焦点，
将代入抛物线的方程，可得，则，
则p=2，
则方程为.
（2）如图，

设，
令，则，
因为直线PQ过点A(2，0),则直线PQ的方程为，
将其与联立并消除x，则，
有根与系数的关系可得，即，得，
连接，，
N为的重心，
，
，
，
，
则直线PR的方程为，
令y=0，可得，即，
因为点B在点A的右侧，，即，
，
令则m>0，
则，
，
当且仅当，即时取等号，故的最小值是.
4. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知椭圆的离心率，为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆(异于椭圆顶点)于、两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）是，.
【解析】
(1)由已知,解得
所以椭圆的方程为
(2)由(1)可知
依题意可知直线的斜率不为，故可设直线的方程为
由，消去
整理得
设，
则，
不妨设，，，
同理
所以


即.
5. 【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过原点的直线与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM．、ON的斜率与，，点成等比数列，求直线的斜率及的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意得，，得，
又得，
∴椭圆C的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，
由，得，
∴，．
由题设知

∴，∴，
∵，∴，，
此时，，
则


故直线的斜率为，．
6. 【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知椭圆的离心率为，且与抛物线交于两点，△（为坐标原点）的面积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左，右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求△面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）椭圆与抛物线交于两点，
可设，
∵的面积为，
∴，解得，
∴，
由己知得解得，
∴椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立方程化简得，
则，
，
，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
∵，又，所以等号不成立.
∴
综上，面积的最大值为.
7. 【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，C的准线与E交于P，Q两点，且．
（1）求E的方程；
（2）过E的左顶点A作直线l交E于另一点B，且BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M，若直线AM的斜率为1，求l的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为抛物线的焦点为，
由题意，可得：椭圆的两焦点为，
又抛物线的准线与交于，两点，且，将代入椭圆方程得，所以，则，即①，
又②，根据①②解得：，，
因此椭圆的方程为；
（2）由（1）得的左顶点为，设直线的方程为，，
由得，所以，
因此，所以，
则，
又因为（为坐标原点）的延长线交于点，
则与关于原点对称，所以，
因为直线的斜率为1，
所以，解得：，
因此，直线的方程为：.
8. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知直线，分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）2；（2）以为直径的圆过定点，.
【解析】
（1）由轴时， 为等腰直角三角形，可得，所以，
即，故，结合，解得.
故双曲线的离心率为2.
（2）因为，所以双曲线，
显然直线l的斜率不为0，设直线，，，
联立直线与双曲线的方程得，化简得，
根据根与系数的关系，得，①
所以，②
，③
设直线，直线，
令，可得，
设是以为直径的圆上的任意一点，则，
则以为直径的圆的方程为，
由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，
即，
将①②③代入，可得，即，
解得或，
所以以为直径的圆过定点，.
9. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与（1）中的曲线交于两点，．分别记，的面积为，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）设点，由得，由于点在圆上，所以，即点的轨迹方程为．
（2）如图所示，设点，，，则，的方程为
，，
又点在、的上，则有：
①，
②，
由①、②知的方程为：．
设点，，则圆心到的距离，则；
又由，得，
于是，，，
于是．
设，则，于是．
设，，于是．
设，，令，得，
得在上单调递增，故，所以的范围为，即的取值范围．

10. ．【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线，为垂足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）①已知直线过定点，求定点的坐标；②点为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①直线过定点；②.
【解析】（1）由题意得：，解得：，，.
故椭圆的标准方程为 .
（2）①由（1）知：，
设直线方程：，，，，，
联立方程得：，
，，，
又，直线方程为：，
令，则，
直线过定点.
②由①中知：，
又，
所以，
令，，则
令，
在单调递减，当时，，
即面积的最大值为.
11. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x2+y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2．试判断k1∙k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）k1k2为定值．
【解析】
（1）由题意，得，
解得.
∴椭圆C的方程为.
（2）k1k2为定值
理由如下：
①当过点P的直线斜率不存在时，直线的方程为x＝±2；
当x＝2时，，则，
当时，，则.
②当过P的直线斜率存在时，设其方程为，
联立，得
由题意，得，
联立，得
则
所以


综上，为定值．
12. 【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；
（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）其上顶点到直线的距离为2，
，解得.
又椭圆过点，
，解得.
∴椭圆的标准方程为：.
点在椭圆上，.
设经过点的直线方程为：，
可得，.
，即.
为定值.
（2）由（1）得直线斜率为，
方程为，
即，，
联立解得，
，
点到直线的距离为，


当且仅当，即时，等号成立，
，
四边形面积的最大值为.
13. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】已知斜率为的直线交椭圆于，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点.
（1）若，求直线的方程以及的取值范围；
（2）不管怎么变化，都有，，，四点共圆，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】设，.
（1）当时，直线的方程为，
将方程代入得：.①
由，解得，此时的方程为.
将代入①，得.
由，解得.
（2）设直线的方程为，
将方程代入得：.②
由题意，即.

，
同理得，
所以中点的横坐标，
点到的距离为，
由，，，四点共圆，
即，③
不管怎么变化，都有，，，四点共圆，即上式恒成立，所以，解得，
此时③式成立.代入②，由得.
所以的取值范围为.
14. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且，求证：直线与某个定圆相切，并求出定圆的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】（1）椭圆的短轴顶点到焦点的距离为，，
椭圆的离心率，，，
椭圆的标准方程：；
（2）证明：，，则，
⑴当直线的斜率不存在时，设，
代入椭圆方程得：，不妨令，，
由得：，解得：，
此时，与圆相切；
⑵当直线的斜率存在时，设，，，
联立得：，
则，化简得：…①
由韦达定理得：，，
则，
由，即可得：，
整理得：，满足①式，，即原点到直线距离为，
直线与圆相切；
综上所述：直线与圆相切.
15. 【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】：（Ⅰ）由，得，即，①
又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，
且圆与直线相切，
所以，代入①得，
则.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由得，且
设，则，
根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有



要使上式为定值，即与无关，则应，
即，此时为定值，定点为.