专题08基本初等函数第四缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题08基本初等函数第四缉1．【2017年福建预赛】函数的最大值为       .【答案】11【解析】由柯西不等式可知：.当且仅当,即时等号成立.所以的最大值为11.2．【2017年江西预赛】函数的最小值是       .【答案】【解析】提示：首先又由,即根据判别式,即,因,则,此值在时取到.3．【2017年河南预赛】方程的最小的解为        .(其中,表示不超过的最大整数).【答案】【解析】提示:设为整数,).将代入原方程得对于每个不同的确定了唯一的有序数对,从而也互不相同.又当且仅当时,.此时.故最小的解为.4．【2017年湖北预赛】设函数,其中为互不相同的非零整数,且,则         .【答案】18【解析】提示：设由题意得,故,所以.所以因为为整数,所以.又,则,故.5．【2017年湖北预赛】设函数,则该函数图象上整点的个数为        .【答案】453【解析】提示:易知函数在上单调递减,且2,.当时,有,所以,函数的图象上整点的个数为6．【2017年四川预赛】已知函数,则       .【答案】1008【解析】提示:因为时,都有1,所以原式.7．【2017年陕西预赛】设函数,若恒成立,则实数的值为         .【答案】【解析】提示：依题意,,即恒成立,所以解得.8．【2017年陕西预赛】设方程的全部正整数解为,,则       .【答案】290【解析】提示：原方程可化为,为的正约数有个,且,.9．【2017年甘肃预赛】已知函数为奇函数,函数为偶函数,且,则       .【答案】【解析】提示:因为为奇函数,所以令得.又因为为偶函数,所以令得.所以10．【2017年贵州预赛】若函数在内有最大值,则实数的取值范围是       .【答案】【解析】提示：因为函数在处取得极大值4,又或4,所以.11．【2017年贵州预赛】已知函数满足:,函数与的图象的交点为,则        .【答案】【解析】提示：因为所以的图象关于点对称,又函数的图象也关于点对称,故函数与的图象的交点也关于点对称,所以12．【2017年广东预赛】设是定义在上的奇函数,,当时,是增函数,且对任意的,都有,则函数在上的最大值是                             .【答案】【解析】提示：因为是奇函数,且在上是增函数,所以在上也是增函数,则，又,所以，故函数在[-3,-2]上的最大值为.13．【2017年浙江预赛】已知,则实数         .【答案】2【解析】提示：将原式化简为，由于为上的增函数,为增函数,且.因此可得实数.14．【2017年浙江预赛】设是中所有有理数的集合,对简分数,定义函数,则在中根的个数为        .【答案】5【解析】 提示:由于,令则有.由此检验可得方程的根的个数为15．【2017年浙江预赛】已知方程有三个实根.若,则实数        .【答案】【解析】提示:设,定义域为,方程可变形为由得,从而有，于是，.所以,由于,可得,即,有16．【2017年湖南预赛】已知函数满足,则         .【答案】24【解析】提示：符合的函数原型为指数函数,由此得原式.17．【2017年江苏预赛】若函数对于任意都满足,则的最小值是       .【答案】【解析】提示:,又,所以,所以令,则所以的最小值是.18．【2017年新疆预赛】设函数,其中为非负整数.已知,则        .【答案】254【解析】提示：因为均为非负整数,由得;又由知.因此,且对,有同时,由知0.故只需考虑如下方程组：.二式联立得.因为为非负整数,故,从而.因此,.19．【2017年新疆预赛】已知函数是上的减函数,且是奇函数.若满足不等式组则的取值范围是        .【答案】【解析】提示：由于是奇函数且在处有定义,所以有.依题意,，由于f(x)是减函数，从而有.设，于是，从而，即的取值范围是.20．【2017年新疆预赛】已知是的三个零点.则        .【答案】24【解析】提示：由于的最高次数为4,故有4个零点(算重数).注意到的四次项系数为1.于是,可设为从而可以得到.21．【2017年新疆预赛】已知,则的最小值为       .【答案】4【解析】提示：首先,由对数的运算得，由于,故从而,由均值不等式得其中当且仅当时等号成立.22．【2017年新疆预赛】已知从甲地到乙地用了整数个小时,且每小时走的公里数与他从甲地到乙地所用的时间相同.从甲地到乙地每小时走2公里,且每走4公里休息1小时,共用了11小时.则甲、乙两地距离为                                          公里.【答案】16【解析】提示:设从甲地到乙地用了小时,在路上共休息了小时.由所走路程相等列方程：解得由于休息了小时,说明走了个4公里还没走到,且最多再走4公里后就能走到.于是,.从而，即A用了4小时，甲、乙两地相距16公里.23．【2017年内蒙古预赛】已知函数,其中,在区间上是单调函数,则的取值范围为        .【答案】【解析】提示：因为在上单调递减,所以,解得.所以的取值范围为.24．【2016年山东预赛】方程的解为 ________.【答案】2，6【解析】若，则方程的解为.若，方程变为.（1）当3 ≤ x < 6时，方程无解；（2）当x < 3时，方程有解x  = 2.故原方程的解为x  = 2，6．25．【2016年山东预赛】方程的整数解 ________.【答案】【解析】令.则.若，则；若，则（舍去）.从而，方程的整数解为.26．【2016年山东预赛】设分别满足方程.则________.【答案】2【解析】整理得，，即为方程的解.而只有一个解，则.27．【2016年安徽预赛】若关于x 的方程有三个不同实根，则实数a的取值范围是________.【答案】【解析】设.则.当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减；当时，.因此，有三个不同实根当且仅当.28．【2016年新疆预赛】若函数是周期为的奇函数,当时,,则 ______.【答案】【解析】注意到,,且周期为3.于是,又由为奇函数且,知.29．【2016年全国】设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.【答案】【解析】令.则:.故.从而，.30．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。【答案】【解析】注意到，二次函数  的图像为抛物线，其对称轴为.当，即-2＜a＜2时，题设；当a≥2时，f（x）在区间（-1，1）上为减函数，题设；当a≤-2时，f（x）在区间（-1，1）上为增函数，题设，这与a≤-2矛盾.综上,a的取值范围的31．【2016年上海预赛】不等式的解集为___________。【答案】【解析】设.则原不等式变为.记.故f(t)在区间(o，+∞)上为减函数，且f(12)=-1-12=-13.因而，原不等式可写成32．【2016年浙江预赛】设函数是定义在上的奇函数，若对任意实数都有，且当时，，则____________.【答案】.【解析】试题分析：∵函数是定义在上的奇函数，∴；又∵对任意实数都有，∴，∴函数是周期为4的周期函数；∵当时，，∴，∵，∴.故答案为：.考点：函数的奇偶性和周期性.33．【2016年浙江预赛】设，方程恰有三个不同的根。则__________。【答案】2【解析】原方程可变形为.要使方程恰有三个不同的根，则.此时，方程恰有三个不同的根.从而，.34．【2016年上海预赛】已知函数均为常数），函数的图像与函数的图像关于轴对称，函数的图像与函数的图像关于直线对称．则函数的解析式为__________．【答案】【解析】设点在函数的图像上．则P关于直线的对称点在函数的图像上．进而，关于y轴的对称点在函数的图像上．则，即．故．35．【2016年江苏预赛】若不全相等的三个实数a、b、c满足，则__________．【答案】0【解析】注意到，．因为a、b、c不全相等，所以，．故．