专题14三角函数与解三角形第一缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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【答案】63
【解析】cs2C=a2+b2-c22ab2=a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2+b24a2b2=2a2b24a2b2=12 ，
csC=±22 ,但C0,若正实数a满足fa=f2a,则f2a-f4a的值为 .
【答案】-3或-1
【解析】由条件得csa+lg2a=cs2a+lg22a=2cs2a-1+1+lg2a,所以csa=2cs2a,
进而得csa=0或12,相应有cs2a=2cs2a-1=-1或-12.
于是f2a-f4a=cs2a+lg22a-cs4a-lg24a=cs2a-2cs22a={-3,若cs2a=-1-1,若cs2a=-12.
11．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】在△ABC中,AB=1,AC=2,B-C=2π3,则△ABC的面积为 .
【答案】3314
【解析】由正弦定理可得：sinBsinC=ACAB=2，又B-C=2π3，
故：2sinC=sinB=sinC+23π=-12sinC+32csC，
即52sinC=32csC,所以tanC=35.
记△ABC的面积为S.注意到A=π-B-C=π3-2C,故S=12AB⋅AC⋅sinA=sinA=32cs2C-12sin2C.
由tanC=35知cs2C=1-tan2C1+tan2C=1114,sin2C=2tanC1+tan2C=5314,从而S=32⋅1114-12⋅5314=3314
12．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】当π4≤x≤π2时,y=sin2x+3sinxcsx的取值范围是 .
【答案】1,32
【解析】y=sin2x+3sinxcsx=1-cs2x2+32sin2x=sin2x-π6+12.
当π4≤x≤π2时,π3≤2x-π6≤5π6,故sin2x-π6的取值范围是12,1.
所以y的取值范围是1,32.
13．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】在△ABC中,AB=1,AC=2,csB=2sinC,则BC的长为 .
【答案】2+142
【解析】由正弦定理知sinBsinC=ACAB=2,故sinB=2sinC=csB,即tanB=1,于是B=π4.
设BC=a>0.由余弦定理知4=1+a2-2a⋅22,故a=2+142.
14．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在△ABC中, AB=6,BC=4,边AC上的中线长为10,则sin6A2+cs6A2的值为.
【答案】211256
【解析】记M为AC的中点,由中线长公式得4BM2+AC2=2(AB2+BC2),
可得AC=2(62+42)-4⋅10=8.
由余弦定理得csA=CA2+AB2-BC22CA⋅AB=82+62-422⋅8⋅6=78,所以
sin6A2+cs6A2=(sin2A2+cs2A2)(sin4A2-sin2A2cs2A2+cs4A2)
=(sin2A2+cs2A2)2-3sin2A2cs2A2
=1-34sin2A
=14+34cs2A=211256.
15．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在三角形ABC中,BC=4,CA=5,AB=6,则sin6A2+cs6A2= .
【答案】4364
【解析】由余弦定理得csA=CA2+AB2-BC22CA⋅AB=52+62-422⋅5⋅6=34,所以
sin6A2+cs6A2=(sin2A2+cs2A2)(sin4A2-sin2A2cs2A2+cs4A2)
=(sin2A2+cs2A2)2-3sin2A2cs2A2
=1-34sin2A
=14+34cs2A=4364.
16．【2020年福建预赛】已知f(x)=3cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|2π⇒0