专题24平面向量第三缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题24平面向量第三缉1．【2020年吉林预赛】已知向量 , 若 ,则 的最小值为(  )A.   B.   C.1   D. 【答案】C【解析】由已知得 .则 因为 ,所以,由柯西不等式得 ，当 ,即 时,上式等号成立.故 的最小值为1.2．【2019年吉林预赛】正方形ABCD中,M是BC的中点,若,则(   )A.   B.  C.  D.2【答案】B【解析】.且，故，，据此可得，故.3．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形中，的中点，边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是（   ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，.由题意得：.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.4．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形中，的中点，边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是（   ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，.由题意得：.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.5．【2018年陕西预赛】在边长为8的正方形中，的中点，边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是（   ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】如图建立直角坐标系，.由题意得：.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.6．【2018年辽宁预赛】已知点P、Q在△ABC内，且，则等于（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设知，故，所以. ，故.故答案为：A7．【2016年陕西预赛】设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（    ）.A．1+    B．1-    C．-1    D．1【答案】A【解析】由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=.设向量c与a+b的夹角为θ.则 (c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1- cosθ≤1+，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+. 选A.8．【2016年浙江预赛】已知向量，且。若，则的最小值为（    ）。A．    B．26    C．    D．24【答案】B【解析】作正方形，联结对角线，令分别为对角线、边上一点，使得.故.9．【2016年湖南预赛】给定平面向量（1，1）.则平面向量是将向量（1，1）经过（    ）变换得到的.A．顺时针旋转60°B．顺时针旋转120°C．逆时针旋转60°D．逆时针旋转120°【答案】C【解析】设两向量所成的角为.则.于是，.又，从而，选项C正确.10．【2015年辽宁预赛】如图所示, 分别为正六边形 的对角线的内分点,且.若三点共线,则=(     )A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】以为原点、所在直线为轴建立直角坐标系.不妨设.则，由,根据定比分点公式得，因为三点共线,所以,.注意到,.故入.11．【2015年吉林预赛】设向量的夹角为，且.则（    ）.A．    B．    C．    D．2【答案】D【解析】由.12．【2015年黑龙江预赛】设 为平面直角坐标系中两两不同的点。若，且，则称点调和分割点。已知平面上点调和分割点 、.则下面说法正确的是（）。A．可能是线段的中点B．可能是线段 的中点C．点 可能同时在线段上D．点 、不可能同时在线段的延长线上【答案】D【解析】由已知不妨设A(0,0)、B(1,0)、C(c,0)、D(d,0)，则(c,0)=λ(1,0)，(d,0)=μ(1,0)，∴λ=c，μ=d；代入 = 2得 = 2；(∗)若C是线段AB的中点，则c=，代入(∗)得，d不存在，∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0⩽c⩽1，0⩽d⩽1，代入(∗)得，c=d=1，此时C和D点重合，与已知矛盾，∴C错误.若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ>1.μ>1，，这与矛盾，所以C、D不可能同时在线段AB的延长线上.故选D.13．【2021年上海预赛】给定整数 设 (允许有重合)是以 为圆心的单位圆 上的点.记 ,其中 求 的最大值.【答案】答案见解析【解析】考虑以下三类情形.(i)当 (mod4)时.由 得 .取 的一条直径PQ,令 交替地取点P,Q,且 也交替地取点P,Q,此时各 均为 取到最大值2n.(ii)当 为奇数时.令 (下标均按模 理解)，则： .由于 为奇数，故必存在 ,使得 与 不异号.不失一般性，可设 与 不异号，则： ，取 的一条直径PQ,令 交替地取点P,Q,且 也交替地取点P,Q,此时 取到最大值 (iii)当 时，设 .对 ,记 为从 逆时针旋转至 所扫过的最小非负角.易知存在 ,使得: .结合函数 在 上的上凸性，可得： .  ①在 上取 ,使得 顺时针旋转 后与 重合,再令 均为 ,此时①的三处不等号均取等， 取到最大值 .综合(i)、(ii)、(iii)可知: .14．【2018年河北预赛】已知O是的外心，且，求的值.【答案】【解析】设的外接圆半径r=1，由已知得，两边平方得同理可得，所以故有所以15．【2017年黑龙江预赛】已知向量,且分别是三边所对的角.(1)求的大小;(2)若成等比数列,且,求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为,所以,即.所以,又是三角形的内角,所以.(2)因为成等比数列,所以,所以.又,所以.即,即,所以.16．【2016年全国】在中.的最大值【答案】【解析】由数量积的定义及余弦定理知.类似地，，..故已知等式化为.由余弦定理及基本不等式得:,，当且仅当时，上式等号成立.因此，的最大值.17．【2016高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，已知，求sinC的最大值.【答案】【解析】由数量积的定义及余弦定理知，，同理得，.故已知条件化为，即.由余弦定理及基本不等式，得，所以.等号成立当且仅当.因此sinC的最大值是.18．【2015年新疆预赛】设a、b为平面上两个相互垂直的单位向量.令  ①其中，.若c、d也为相互垂直的单位向量，证明：（1），且；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题设知.于是，由方程组①得               ②和设分别为 向量a 与 c、a与 d 的 夹角． 则 由 方程组② 以及向量 c、d相互垂直得其中，.故.类似地，.此外，由方程组①得（2）由方程组①得和前一组两式相加得.由，且，知.类似地，.19．【2015年黑龙江预赛】已知向量，其中，.函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）设的三边满足，且边所对的角，若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围。【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由向量的数量积得：，将降次化一，化为的形式，然后利用公式便可求得（2）首先求出角的范围，再结合正弦函数的图象便可得出方程有两个不同的实数解时的取值范围.由余弦定理得：，从而可得的范围.（1）4分； 6分（2）9分所以，由函数的图象知，要有两个不同的实数解，需，即． 13分考点：1、三角函数；2、向量；3、余弦定理.