专题25数列第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题25数列第一缉1．【2021年浙江预赛】设 ,则         .【答案】6【解析】 .2．【2021年浙江预赛】设数列 ,这里[x]表示不超过 的最大整数。若 ,则正整数 有       种可能的取值情况。【答案】7【解析】由 , 可得  或 11 ,可得  或 13 或 14 ; 可得  或 16 或 17可得  或 19 或 20 或 21 ; 可得  或 23 或 24 或 25 或26，可得  或 28 或 29 或 30 或 31 或 32 ;可得  或 34 或 35 或 36 或 37 或 38 ,39，共7种.3．【2021年新疆预赛】已知数列 满足 ,对任意的 有 ,则 的个位数字是          .【答案】6【解析】 , , 是常数列，又 , .由特征根方程求得 的个位数字为6.4．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】等差数列满足,则的值为        .【答案】【解析】设的公差为由条件知解得.5．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】等差数列的公差,且,则的值为        .【答案】1981【解析】由条件知,又,故.6．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在等比数列中,,则的值为        .【答案】【解析】由等比数列的性质知,.所以.7．【2020年甘肃预赛】设数列 满足: .记 .若 的值在区间 内,则整数 的值为          .【答案】3【解析】由题意知 下证 ,只需证 由 .由归纳法,知对于任意的 ,则 ,即 .8．【2020年广西预赛】设数列 的前两项分别为 , 设 若数列 是公差为1的等差数列,则         .【答案】2041211【解析】易知, 由 的公差为1知 故 9．【2020年吉林预赛】数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数 该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数均等于它前面两个数的和.把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”.则 =        .【答案】1【解析】由题意知 ， ，……由此可归纳出结论 .则原式 即 个 与1010个1相加，结果为1.10．【2020年四川预赛】已知数列 满足: ，其中,[ ]表示不超过实数 的最大整数, 则         .【答案】 【解析】注意到， , ， ， ， .由数学归纳法易得 , .因此, .11．【2020年四川预赛】若数列 满足 ,则 的末尾两位数字为          .【答案】53【解析】记 则 , .考虑 ,它们分别为:04,14,52,94,24,02,84,34,52,74,44,02,64,54,52,54,64,02,44,74,52,34,84,02,24,94,52,14,04,02,04,14,…,是以30为周期的模周期数列.又 ,则 的最后两位数为54.因为 ,所以, 的末尾两位数字为53.12．【2020年浙江预赛】设 为集合 的一个排列.若存在 且 ,则称数对 为一个逆序,排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数.比如,排列1432的逆序为43、42、32,此排列的逆序数就是3.则当 时,且 的所有排列的逆序数的和为                                           .【答案】912【解析】含6的逆序数有 ，含5的逆序数有 ,含4的逆序数有 ，含3的逆序数有 ，含2的逆序数有 个.故总的逆序数有912个.13．【2020年重庆预赛】已知 均为实数.若集合 的所有非空真子集的元素之和为28,则         .【答案】4【解析】注意到,含有元素 的非空真子集有7个.则 的所有非空真子集的元素之和为 .从而, 14．【2020年新疆预赛】等差数列 的公差和等比数列 的公比都是 ,且 .若存在 使得 ,则         .【答案】130【解析】由题得 ,消去 ，得 ，解得 或1（舍去）.所以 ，得 ,解得 .15．【2019年江西预赛】公差为d,各项皆为正整数的等差数列{an},若,则正整数m+n的最小值是        .【答案】15【解析】设公差为d,则1949=1919+(m-1)d,2019=1919+(n-1)d,显然有m>1,n>1,，以及,消去d得:10m-3n=7,其通解为,为使m>1,n>1且d为正整数,则正整数t只能在{1,2,5,10}取值,当t=1时,m=4,n=11为最小,此时m+n=15.16．【2019年江西预赛】数列{an}满足:，,(其中[an]和{an}分别表示实数an的整数部分与小数部分),则                                .【答案】【解析】，，归纳易得.因此.17．【2019年上海预赛】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn若数列也是公差为d的等差数列,则数列{an}的通项an=                                           .【答案】【解析】由.类似地,.将以上两式相减得：.而d≠0,故d=4.又，由此解得.从而,.18．【2019年新疆预赛】已知数列:，那么是该数列的第          项.【答案】1553【解析】依题意知，可将已知数列进行分组，第一组为;第二组为;第三组为，…，第n组为.又，，故分数在数列第7组.下面我们计算数列分组后，前6组共有数列中：项.又为数列第7组的第1010位.所以分数为数列的第543+1010位，即1553位.19．【2019年浙江预赛】设，数列满足.若，则的取值范围为          .【答案】【解析】由已知得，，因为，所以，结合，在坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为，，所以.20．【2019年北京预赛】将正整数按第组含个数分组:则2019在第          组中.【答案】63【解析】易知第组的最后一个数为,当时,.可见,是第组的最后一个数,因此应在第组中.21．【2019年广西预赛】从1,2,……,20中任取3个不同的数,则这3个数构成等差数列的概率为          .【答案】【解析】设首项为a1,不妨考虑公差组组组以此类推，可得：组则总共有组所以构成等差数列的概率为22．【2019年贵州预赛】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若均为公差为d的等差数列,则        .【答案】【解析】解法1:由已知，所以,当n≥2时：.故对,有..解法2:因为,要使{Sn}是公差为d的等差数列,则必有,此时，所以,解得,所以.23．【2019年吉林预赛】我们把3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示,则第19个三角形数是                                           .【答案】210【解析】归纳易得,故.24．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=2019，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得.这样的数列{an}的个数为                                           .【答案】5【解析】设{an}的公差为d.由条件知(k是某个正整数)，则，即(k－2)d=a1，因此必有k≠2，且.这样就有，而此时对任意正整数n，，确实为{an}中的一项.因此，仅需考虑使成立的正整数k的个数.注意到2019为两个素数3与673之积，易知k－2可取－1，1，3，673，2019这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列.25．【2018年山西预赛】将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有1个数，第二段有3个数，……，第n段有2n-1个数；那么，第20段中的第18个数是________.【答案】379【解析】显然，前n段共有个数，即第n段中最大数为；于是第19段中的最大数为，则第20段中第18个数为361+18=379.26．【2018年江苏预赛】已知等差数列的前12项的和为，则的最小值为________.【答案】60【解析】，当且仅当时等号成立，故的最小值为60.故答案为：6027．【2018年浙江预赛】设数列满足 ， (n=1，2，…），则 ________.【答案】【解析】由，所以.28．【2018年湖北预赛】设数列满足：，则______.【答案】 【解析】由可得.设，则有.又，故.一般地，有，于是，所以.29．【2018年湖北预赛】设数列的通项公式为，将该数列中个位数字为0的项，按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数为______.【答案】4 【解析】因为，于是可知当且仅当的个位数字为1、4、5、6、9、0时，的个位数字为0.所以，数列的连续10项中，个位数字为0的项有六个.而，余数2所对应的满足条件的项的个位数字为4，因此，.所以，被7除所得余数为4.30．【2018年甘肃预赛】已知数列满足，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】由可得，则．以下用累加法得，．得到，从而，．