专题26数列第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题26数列第二缉1．【2018年吉林预赛】在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列是等方差数列；②若是等方差数列，则是等差数列；③若是等方差数列，则，k为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④【解析】①因为，所以符合“等方差数列”定义；②根据定义，显然是等差数列；③符合定义；④数列满足（d为常数）.若d=0，显然为常数列；若d≠0，则两式相除得，所以（常数），即为常数列.故答案为：①②③④2．【2018年河北预赛】欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【答案】21【解析】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有种方法；共计21种上楼梯的方法.3．【2018年浙江预赛】设数列满足 ， (n=1，2，…），则 ________.【答案】【解析】由，所以.4．【2018年江西预赛】正整数数列满足满足．在中两数列的公共项的个数是______．【答案】135    【解析】易知，2018是两个数列在内最大的一个公共项，除去这个公共项外，用2018分别减去的其余各项，前者得到，为，它们是内所有3的倍数；后者得到，为，它们是内所有5的倍数；显然，的公共项，一一对应于的公共项，而这种公共项是中所有15的倍数，为．因此，所求公共项的个数是个．故答案为：1355．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.【答案】 【解析】原正三角形的面积为，而第k次一共挖去个小三角形，.因此，可以采用等比级数求和公式，得到答案为.故答案为：6．【2018年全国】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为         .【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.7．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为          .【答案】80【解析】设，则有   ①   ②用t表示中值为2的项数.由②知，t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.8．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，=(3，1)是l的一个法向量.已知数列{an}满足:对任意正整数n，点均在l上.若a2=6，则的值为                                           .【答案】【解析】易知直线l的方程是3x+y=0.因此对任意正整数n，有，即，故{an}是以为公比的等比数列于是.由等比数列的性质可得.9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设两个严格递增的正整数数列满足:，对任意正整数n，有，则的所有可能值为                                           .【答案】13、20【解析】由条件可知:均为正整数，且.由于，故b1∈{1，2，3}.反复运用{an}的递推关系知，因此，而13×21=34×8+1，故有   ①另一方面，注意到，有，故   ②当b1=1时，①、②分别化为，无解当b1=2时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=18，此时.当b1=3时，①、②分别化为，得到唯一的正整数a1=10，此时.综上所述，的所有可能值为13、20.10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在等比数列{an}中，，则的值为         .【答案】【解析】数列{an}的公比为，故.11．【2017年天津预赛】已知是首项为1,公比为2的等比数列,是首项为2,公差为5的等差数列.同时出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列,则                                          .【答案】【解析】提示：数列中的数等于2的整数次幂,数列中的数被5除余2.注意被5除的余数依次为,不难发现，中仅有形如的数被5除余2,从而出现在中.因此,.特别地,.12．【2017年山西预赛】将全体正奇数按自小到大的顺序排列,然后取第一数为,取后续两数和为,再取后续三数和为,如此继续,得到数列,即:,则的前20项之和                                          .【答案】44100【解析】提示:为前个奇数之和,答案是.13．【2017年吉林预赛】两个数列满足(其中),则的通项公式为       .【答案】【解析】由题意①+②+1,得,故①-②,得,故所以14．【2017年福建预赛】已知为等比数列,且,若,则       .【答案】2017【解析】提示：由知,因为为等比数列,且,所以，所以.所以.所以.15．【2017年江西预赛】化简       .【答案】【解析】提示：由立得结果.16．【2017年江西预赛】将全体真分数排成这样的一个数列,排序方法是：自左至右,先将分母按自小到大排列,对于分母相同的分数,再按分子自小到大排列,则其第2017项是                                          .【答案】【解析】提示:按分母分段,分母为的分数有个,因为故2017属于第64段,则应是分母为65的第一数,即.17．【2017年江西预赛】将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列,若,则       .【答案】120【解析】提示:数字和为10的两位数有9个,数字和为10的三位数,首位数字可取中任意一个值,当取定后,可取,这个数中的任意一个值,而在皆确定后,值便唯一确定，因此三位数个数是,数字和为10的四位数9的非负整解的个数是,数字和为10的四位数共有2个,即2008与2017,故在中,满足条件的数有个.18．【2017年河南预赛】已知由3的幂或者是若干个不同的3的幂之和组成的递增数列：1,3,,则此数列的第100项是                                          .【答案】981【解析】提示：该数列的项即为,其中,1当时,可组成个数,第64项是.从第65项开始,不含的项有个,第96项是972,下面是,第100项是.19．【2017年湖北预赛】已知正项等比数列满足,则的最小值为       .【答案】196【解析】提示：设公比为,由条件知,即显然,所以.当,即当时等号成立.所以的最小值为196.20．【2017年黑龙江预赛】下面给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第行第列的数为,则                                          .【答案】【解析】提示：由题意知,位于第行第3列,且第1列的公差等于,每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知,第行第1个数为21．【2017年贵州预赛】在正项等比数列中,存在两项,使得,且,则的最小值是       .【答案】【解析】提示:在正项等比数列中,由或不合题意,舍去.又由所以,则.22．【2017年广东预赛】已知数列满足关系式,且,则的值是       .【答案】【解析】提示:依题意得,令,则,故23．【2017年广西预赛】设数列的各项为正数,其前项和满足,则       .【答案】【解析】提示:由,得.由,.当时,由及化简得.所以是等差数列,公差为1,又,所以首项1也满足,故.24．【2017年湖南预赛】对正整数,定义,记则       .【答案】【解析】提示:由,所以，所以,.25．【2017年江苏预赛】若数列满足,则的值为         .【答案】【解析】提示：由得又,所以2,所以所以.26．【2017年新疆预赛】在数列中,对,有;且对一切正整数,都有则         .【答案】17【解析】提示：对一切正整数,都有故,即数列是以8为周期的数列,则27．【2017年新疆预赛】已知数列首项为2,且满足则的最大值为       .【答案】35【解析】提示：依题意,我们有两式相减,整理可得     ①在①式两边同时加上,可得从而,数列是一个首项为,公比为3的等比数列,即.故.通过计算可知,当时,;吋,.从而时取最大值,最大值为.28．【2017年内蒙古预赛】设等比数列的公比为,前项和,则的取值范围为       .【答案】【解析】提示：因为所以当时,有.当时,有.解得故.29．【2016年陕西预赛】在数列 中，a4=1，a11=9，且任意连续三项的和均为15.则a2016=________.【答案】5【解析】依题意，对任意n∈Z+，有an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3=15an+3=an.则a1=a4=1，a2=a11=9，a3=15-a1-a2=5.故a2016=a3×672=a3=5.30．【2016年安徽预赛】已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000.则________.【答案】0.505【解析】设等差数列的公差d，则，.故.