专题27数列第三缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题27数列第三缉1．【2016年新疆预赛】设数列满足,且.则 ______.【答案】【解析】由，，则，，故.2．【2016年山西预赛】设集合,若将集合的元素按自小到大的顺序排成一个数列，则数列的通项公式＝__________.【答案】【解析】易知，.若.于是，4m-l为某个奇平方数的3倍．设.则 .故.3．【2016年山西预赛】设，令.则__________.【答案】【解析】注意到，对于任何大于1的数m，均有.上式两边乘以2k，并取，得.                   ①在式①中分别令后=O，1，…，9，然后相加得.                         ②又记，则.                  ③ 由式②、③得4．【2016年全国】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________.【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的， 满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组5．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.【答案】【解析】设等差数列的公差为.由已知得.故.6．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.【答案】【解析】设等差数列的公差为.由已知得.故.7．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则___________。【答案】【解析】由定义得.令.于是，故8．【2016年上海预赛】设为正整数1，2，···，2014的一个排列。记。则中奇数个数的最大值为___________。【答案】1511【解析】若为奇数，则具有不同的奇偶性.从中至少有1007-1=1006个奇数.从而，中至少要改变1006次奇偶性.故中至少有503个偶数，即至多有2014-503=1511个奇数.取.则均为奇数.综上，中奇数个数的最大值为1511.9．【2016年浙江预赛】已知数列满足。则__________。【答案】【解析】由已知.故.10．【2016年新疆预赛】已知数列满足，则______.【答案】【解析】由.因此，是以为首项、2为公差的等差数列.故.11．【2016年辽宁预赛】已知数列共有100项,满足, .则符合条件的不同数列有______个.【答案】4851【解析】注意到,ak+1-ak=5或-5, .设99个差中有x个5,99-x个-5.故于是,所求数列的99个差中,有97个5,2个-5.由于这97个5、2个-5的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列,从而,所求数列的个数为.12．【2016年江西预赛】已知数列满足,则正整数m、n的一组解为{m,n}=______.【答案】【解析】由.若13．【2016年江西预赛】等差数列2,5,8,…,2015与4,9,14,…,2014的公共项(具有相同数值的项)的个数为______.【答案】134【解析】将两个数列中的各项均加1,则问题等价于求等差数列3,6,9,…,2016与等差数列5,10,15,…,2015的公共项个数.注意到,前者是M={1,2,…,2016}中全部能被3整除的数,后者是集合M中全部能被5整除的数.故公共项是集合M中全部能被15整除的数,这种数有 ([x]表示不超过实数x的最大整数)个.14．【2016年河南预赛】定义数列为1+2+…+的末位数字，为数列的前项之和，则=______________。【答案】7066【解析】由题意知 则末位数相同，即.于是，.又，，故.15．【2016年甘肃预赛】数列满足，其中，表示不超过实数x的最大整数，.则__________.【答案】【解析】由已知得，，.故，.从而，.16．【2016高中数学联赛（第01试）】设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为                                           .【答案】40【解析】由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列.于是问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比q≠1，且q为有理数.记，其中m、n为互素的正整数，且m≠n.先考虑n>m的情况：此时，注意到m3与n3互素，故为正整数.相应地，分别等于，，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于53>100，故仅需考虑，这些情况，相应的等比数列的个数为.当n<m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列，综上可知，共有40个满足条件的有序数组.17．【2015年浙江预赛】若数列的前项和，则______.【答案】【解析】注意到，.又，则.故.18．【2015年上海预赛】等差数列中，对任意正整数n ，均有.则_________.【答案】4000【解析】设等差数列的公差d则由题设得.又上式关于n恒等，于是，.解得.故.19．【2015年上海预赛】定义数列.则此数列前2015 项 和______.【答案】6045【解析】由已知得，且数列为4为周期.故.20．【2015年上海预赛】设.则使得>10成立的最小正整数为______.【答案】12367【解析】，利用计算器解不等式得最小正整数为12367.21．【2015年新疆预赛】一个正实数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该正实数的小数部分为________.【答案】【解析】设该正数的小数部分为a，整数部分为b.由题设知.若，则，矛盾.从而，.故.又因为，所以，.因此，该正数的小数部分为.22．【2015年天津预赛】设分别为等差数列的前项之和.若，则__________.【答案】3【解析】设的公差分别为.则.设.则.从而，.故.23．【2015年安徽预赛】设.数列的通项公式为______.【答案】【解析】由.24．【2015年陕西预赛】设单调递增数列的各项均为正整数，且.则______。【答案】194【解析】由，得：.而，且均为正整数，故.设.则.又，于是，.从而，.故.25．【2015年山西预赛】数列的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列．则________.【答案】2014【解析】设倒数数列公差为.由条件知：    ①.据合分比性质得             ②又由式①知                      ③由式②、③得.26．【2015年山西预赛】将各位数字和为8的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，称为P数列.则2015为其中第________项.【答案】83【解析】一位数时，只有8这一个数.两位数时，首位可分别取1，2，… 8，共有八个数.三位数时，考虑形如的三位P型数.记首位为x的这种三位数有个.若，则y可取0到7中任一值，而当x、y确定后，z值随之确定，此时产生八个数，即；类似地，.因此，三位P型数的个数为.四位数时，考虑形如的四位P型数.若，y可取0到7中任一值，而当x、y确定后，z值随之确定，此时产生八个数；若，y可取0到6中任一值，而当x、y确定后，z值随之确定，此时产生七个数；……若，y、z只可取0.因此，形如的四位P型数的个数为.注意到，形如的四位P型数有两个，即2016、2015.综上，2015为第个P型数，即.27．【2015年山东预赛】将正整数数列中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列______.【答案】2060【解析】设，则在数列中,在之前共去掉k个完全平方数.因此,.故由.28．【2015年辽宁预赛】已知数列项和为且对任意正整数,均有对任意的恒成立,则实数的最小值为______.【答案】【解析】由题意,取得.又,则是以为首项、为公比的等比数列,即故由对任意的,均有,知.29．【2015年江苏预赛】已知正项数列的首项为1，且对于一切正整数n，均有_____.【答案】【解析】题设式变形为.由，得30．【2015年吉林预赛】设数列的前项和为，且.则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由，知.于是，是以1为首项、为公比的等比数列.故.31．【2015年湖南预赛】对任一实数序列，定义，其第项为.假定序列的所有的项均为1，且.则的值为__________.【答案】819【解析】设的首项为.则依条件得，其第项为.因此，序列的第项为.因为，所以:.32．【2015年湖北预赛】设中的元素个数为_______【答案】504【解析】因为集合中共有个元素，其构成公差为5的等差数列，每一项被5除的余数均为4，所以，只要考虑集合中被5除余数为4的项的个数.对于，有，，，.令.故集合中的元素个数为504.33．【2015年甘肃预赛】在数列中, , ,对所有的正整数n均有______.【答案】【解析】经检验,数列{an}以6为周期，从而, .34．【2015年福建预赛】已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________．【答案】10200【解析】因为，所以 同理可得： ,的前100项之和.故答案为： .点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.