专题31数列第七缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题31数列第七缉1．【2017年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列的前项和为,且),其中.(1)求数列的通项公式.(2)对任意给定的正整数,数列满足：求.2．【2016年福建预赛】已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通项公式an；（2）设为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn；（3）设，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值.3．【2016年山东预赛】已知数列满足.证明：在中，最少可以找到672个无理数.4．【2016年安徽预赛】已知数列满足用数学归纳法证明：.5．【2016年全国】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.6．【2016年浙江预赛】给定数列。证明：存在唯一分解，其中，数列非负，单调不减，且。7．【2016年上海预赛】已知数列满足．求所有的值，使得为单调数列，即为递增数列或递减数列．8．【2016年四川预赛】设等比数列的前n项和为（r为常数）.记.（1）求数列的前n项和；（2）若对于任意的正整数n，均有，求实数k的最大值.9．【2016年辽宁预赛】已知数列满足, a2(k∈若对于所有的,均有,求k的取值范围10．【2016年江苏预赛】在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z扩展”．已知数列1，2，3第一次Z扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n次Z扩展后所得数列1，，…，，3，并记．（1）求的值；（2）若，证明：为等比数列，并求数列的通项公式．11．【2016年江苏预赛】设数列满足．是否存在正整数n，使得，（）？若存在，求出最小的正整数n的值；若不存在，请说明理由．12．【2016年湖北预赛】已知定义在R上的函数满足，且对任意实数x、y，恒有①设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令为数列的前n项和.证明：＜1.13．【2016年河南预赛】定义数列.证明：（1）为整数数列；（2）为完全平方数。14．【2016年甘肃预赛】设数列的前n项和为，点的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）求，且对任意的正整数n，均有.证明：对任意，总有.15．【2016高中数学联赛（第02试）】设实数满足(i=1，2，…，2015).求的最大值.16．【2016高中数学联赛（第02试）】设p与p+2均是素数，p>3.数列{an}定义为a1=2，，n=2，3，….这里表示不小于实数x的最小整数.证明:对n=3，4，…，p－1均有成立.17．【2015年浙江预赛】已知数列满足.证明：.18．【2015年浙江预赛】已知数列满足.（1）证明：为正整数数列；（2）是否存在，使得？并说明理由.19．【2015年浙江预赛】设为正整数.若数字构成的排列满足（1）；（2）；（3），则称此排列为“N型”的.记为所有N型排列的个数.（1）求的值；（2）证明：对任意正整数均为奇数.20．【2015年上海预赛】设为由数0或1组成的数列，即或1.（1）若，由数列A定义另一个数列，其中，.求使得的所有数列A（只需写出结果，不需解题过程）.（2）求使得除以4余3的所有数列A的个数.21．【2015年上海预赛】已知数列满足，对每个正整数，有.如这个数列可以为1，2，4，6，10….（1）若某一项为奇数，且不为3的倍数，证明：；（2）证明：；（3）若在的前2015项中，恰有t个项为奇数，求t的最大值.22．【2015年新疆预赛】已知数列满足.求数列的前4n项的和.23．【2015年天津预赛】设.证明：（1）存在常数，使得对任意正整数，有.（2）对任意正整数，有.24．【2015年四川预赛】已知数列满足成等差数列，且对任意的正整数n，均有，其中，为数列的前n项和。求（1）的值；（2）数列的通项公式。25．【2015年陕西预赛】设等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式.（2）在之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列.设数列的前项和为.证明：.26．【2015年陕西预赛】设表示不超过实数的最大整数.已知.求.27．【2015年山东预赛】已知数列满足.(1)证明:当n≥2时,;(2)当n≥4时,求表示不超过实数x的最大整数).28．【2015年辽宁预赛】在数列中,,关于的方程.有唯一解.(1)求数列的通项公式;(2)设,证明: (3)设,求数列的前n项和29．【2015年江西预赛】正整数数列满足.证明：数列的任何两项均互素。30．【2015年江苏预赛】设等比数列，记.（1）写出一组，使得是公差不为0的等差数列；（2）当时，证明：不可能是公差不为0的等差数列.31．【2015年湖南预赛】已知数列满足.对于正整数，定义函数.证明：若为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点.32．【2015年湖北预赛】设为数列的前项之积，满足（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：.33．【2015年河南预赛】数列的定义为，证明:34．【2015年甘肃预赛】数列满足, (1)设,求数列的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求.35．【2015高中数学联赛（第01试）】设是4个有理数，使得成立.求的值.36．【2015高中数学联赛（第02试）】设为实数，证明：可以选取，使得   ①