专题35不等式第四缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题35不等式第四缉1．【2015年山东预赛】已知且满足.则的最大值为______【答案】【解析】由已知得.又，.故.当时, 取得最大值.2．【2015年江西预赛】满足的实数的取值范围是_____________。【答案】【解析】令，此为单位圆的上半圆，其与直线交于点，半圆位于交点左侧的图像均在直线上方.因此，.3．【2015年江西预赛】若实数，且，则的取值范围是__________。【答案】【解析】注意到，.由.又，则.因为，所以，.故由，知.于是，（当时取等号）.再由，知.从而，.于是，（当时取等号）.因此，.4．【2015年江苏预赛】设实数满足，且，则的最大值为________.【答案】【解析】试题分析：由，且，即，也就是.分别以，轴为横轴和纵轴，那么方程所表示的曲线为焦点在纵轴上的双曲线位于第一象限的部分双曲线弧，（包括纵轴上的点），令则.由线性规划知识可知，当经过点时，，.考点：双曲线方程，线性规划的综合使用．【方法点晴】本题主要考查的是解析几何中双曲线的方程，特别是由限制条件下得出图形为双曲线的一部分而不是整个双曲线．设为一个整体，巧妙得转化到线性规划的方法利用平行线与双曲线弧的位置关系来确定最大值，也可以用换元的方法来完成该题.在画图时要注意图形的准确性，不同直线的倾斜程度要表达出来．5．【2015年河南预赛】已知正实数满足，则的最小值为___________．【答案】【解析】试题分析: 因为,故应填答案.考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.6．【2015年甘肃预赛】已知a、b为两个互相垂直的单位向量,且.则对任意的正实数t, 的最小值为______.【答案】【解析】设.则：,.于是,故.又 ,从而,,当时,以上各式等号成立.因此,所求最小值为.7．【2015年甘肃预赛】设为正实数,且x+y=1.则的最小值为______.【答案】【解析】由柯西不等式得，当且仅当，即时,等号成立.8．【2015年福建预赛】已知实数满足.则的最小值为__________.【答案】【解析】由柯西不等式知.于是，，当且仅当时等号成立.故的最小值为.9．【2021年吉林预赛】设实数x,y满足不等式组 ,则 的最大值为(  )A.   B.   C.   D.4【答案】D【解析】 当且仅当 时,等号成立.选D.10．【2021年吉林预赛】方程组 的解的个数为(  )A.1  B.2  C.3  D.4【答案】C【解析】由题意得: 或 ，有三组解 .选C.11．【2019年吉林预赛】若x、y满足,且,则2x+y的最小值为(   )A.  B.  C.  D.【答案】B【解析】原题条件等价于:,做出可行域,可知2x+y在x=-1,y=-3时取得最小值-5.12．【2018年吉林预赛】已知实数满足，且，则（   ）。A．存在实数，使得    B．存在，使得C．任意符合条件的实数都有    D．中至少有两个大于1【答案】CD【解析】因为，所以，从而对任意符合条件的实数都有，所以选项A不正确，选项C正确；又若，即，从而，所以，所以选项B不正确；当都属于区间或者都属于区间时，都大于1，当分属于区间时，不妨设，则，所以选项D正确.13．【2018年吉林预赛】设，满足，则z的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，所以.因为x＞1，即，所以，故.故答案为：D14．【2017年天津预赛】实数满足,则的取值范围是(   )(A)  (B)  (C)  (D)【答案】【解析】提示：令,则,且是关于的一次函数,其一次项系数,因此其最大值、最小值分别在和时取到.当时,原式成为,其最大值在时取得,等于.当时,原式成为,其最小值在时取得,等于.因此,所求的取值范围是,故选B.15．【2017年辽宁预赛】已知正数满足,则的最小值为(   )(A)  (B)8  (C)  (D)25【答案】【解析】提示：由平均值不等式及题设条件知,即  ①当且仅当时取等号.由①可得  ②又由条件和柯西不等式可得  ③当且仅当时取等号,结合条件便知此时.由②③得当时,取最小值25.16．【2017年陕西预赛】设,若存在实数满足,且则的最大值为(   )(A)  (B)  (C)  (D)1【答案】【解析】提示：如图,在直角坐标系中,作矩形,使,y).在边上分别取点,使,0)、,则由,得,即为正三角形.设,则所以，当且仅当时,上式等号成立.故的最大值为.17．【2017年黑龙江预赛】如果实数满足标函数的最大值为12,最小值为3,那么实数的值为(   )(A)2  (B)  (C)  (D)不存在【答案】【解析】提示:由直线方程联立方程组易得,将代入,过的截距,过的截距,符合题意,故.18．【2016年陕西预赛】在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】由不等式组绘制可行域如图所示，则 ，不等式组表示的平面区域的面积是 .本题选择B选项.19．【2016年陕西预赛】设非负实数a、b、c满足ab+be+ca=a+b+c>0.则的最小值为（    ）.A．2    B．3    C．    D．2【答案】A【解析】不妨设a≥b≥c.由均值不等式得当且仅当c=0且a=b时，上式等号成立.又ab+bc+ca=a+b+c>0，则 由c=0，a=b，ab+bc+ca=a+b+c，得a=b=2.故当a、b、c中有两个为2、一个为0时，取得最小值为2. 选A.20．【2016年天津预赛】设.已知依次成等差数列, 依次成等比数列记.则(   )A．    B．    C．D．既有的情形,也有的情形【答案】A【解析】设公比.则,, .由，，由.故.21．【2016年浙江预赛】已知，函数。若对于任意的，有，则的取值范围是（    ）。A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】由题意得.令.则.故.22．【2015年浙江预赛】若实数满足的最大值为（    ）.A．1    B．    C．    D．2【答案】C【解析】由满足的条件知.故.当时，上式等号成立.23．【2015年湖南预赛】使关于的不等式有解的实数的最大值为（    ）.A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】令.则.从而，实数的最大值为.24．【2015年黑龙江预赛】设变量满足约束条件目标函数均大于0）的最大值为8.则的最小值为（）。A．3    B．4    C．5    D．6【答案】B【解析】通过作图，知在点（1,4）处：.又，故.25．【2015年黑龙江预赛】设 .则下面不等式中不恒成立的是（）。A．    B．C．    D．【答案】A【解析】由.故选项A不恒成立.