专题36不等式第五缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题36不等式第五缉1．【2021年吉林预赛】设 .若对于满足 且 的任意一组正数a,b,c,均存在以a,b,c为三边长的三角形，求实数 的最大值，说明理由.【答案】答案见解析【解析】由 得 或 ，(1)联立 得 由 ,解得 或 因为 有唯一解，得 又直线 与曲线 交于三个不同的点,所以 不足方程 的解，即 ，所以 的取值范围是 .(2)情形1(如图):联立 得 .设 ，则 ，设AC的中点为 ,则 .又点 在直线 上,从而 .所以 或-2，不满足 ，舍去.情形2(如界2):设 则直线AB的方程为 又直线AB即为直线 从而 由 为线段AC的中点，得 点 在直线 上，得 联立 解衍 (受委屈)或 综上， 的值为 .2．【2021年重庆预赛】设自然数 ,实数 满足 ,求 最小值及取最小值时的 【答案】答案见解析【解析】由柯西不等式： ，化简得： ，解得： 构造局部不等式 ，展开得 ，同理有其它 式，相加得： ，要使 取最小值， 或 若全为2,其和为2n,不符合题意；若有两个以上为 ,其和小于 ，不合题意；当且仅当有且只有一个为 ,即 及其置换时，S取得最小值.3．【2021年浙江预赛】设 ,证明 .【答案】证明见解析【解析】等价于 , 证: ,由三元均值不等式有 ,由柯西不等式有 ,所以有 则可知 由柯西不等式有 则有 4．【2021年上海预赛】已知正实数a,b满足 ,求 的最大值.【答案】54【解析】解法1:由题设及平均不等式： ，所以 ，当 时等号成立.故 的最大值为54.解法2:由题设得 , 所以 当 时等号成立.故 的最大值为54.解法3:由题设得 ，所以 令 ,则 ,故 当 时, ,当 时， ,故 在 上是递增的，在 上是递减的，故 在 时取到最大值.所以， 的最大值为 .5．【2021年全国高中数学联赛B卷二试】已知,满足:,求的最小值.【答案】2【解析】当时,有.当时,也成立.所以当时上述不等式等号成立.故的最小值为2.6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设正实数a,b,c满足,求的最小值.【答案】6【解析】由题设条件得,由柯西不等式可得：,即,故.又由柯西不等式得,所以,当a=b=c=1时等号成立.故的最小值是6.7．【2020年广西预赛】已知 ,其中,x、y、z为不全相等的正实数.证明：（1）x+y+z=3；（2） .【答案】证明见解析【解析】(1)注意到， 因为 不全相等,所以, 从而, 故 (2) .8．【2020年广西预赛】空间中八个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17条线段.证明：在这17条线段之中必存在三条线段，其长度a、b、c满足 ,其中, .【答案】证明见解析【解析】(1)这17条线段之中必有三条线段构成三角形.反证法.假设这17条线段之中任意三条不构成三角形.设点 是这八个点中连接线段最多的一个点,连接线段数为x.则有 个点不与点 连线.又由于以这 个点为端点的线段数不超过 ,于是,所连线段总数不超过 .而 ,这与题设矛盾.因此,17条线段中必有三条线段构成三角形.(2)据海伦公式知原不等式 ,其中, 为该三角形的面积.注意到， .            ①而 故式①成立.综上,命题得证.9．【2020年吉林预赛】已知正实数 满足 求 的最小值.【答案】.【解析】设 .则 为三边长构成 由 其中, 建立平面直角坐标系,设 , .则 ,且 （当且仅当 时等号成立） 当且仅当 时等号成立).因此, 的最小值为 .10．【2020年四川预赛】设 为正实数，对于任意两两不等的正实数a、b、c,均有 .求 的最大值.【答案】1【解析】取 .则 对于任意的 成立.注意到,当 时, .因此, 下证: 成立,即证 .      ①不妨设 可令 则式①左边 .从而, 时结论成立.综上, 的最大值为1.11．【2020年浙江预赛】设 为实数列.证明： .【答案】证明见解析【解析】注意到，不等式左边 . .由Cauchy不等式得 . .由 及 ，从而只需证明: ，      ①及 .     ②这两个不等式是一样的 对调).下面证明:        ③式③等价于 由 , ，知最后的不等式成立.对式③求和即得式①,得证.12．【2020年新疆预赛】已知a,b,c,d为正实数，且 ,求证: 【答案】证明见解析【解析】证明：由柯西不等式，可得:左式 下证 :由 ,可得 .而 故 .13．【2019年新疆预赛】给定正实数，设.试求的最小值与最大值.【答案】最小值和最大值分别为1和.【解析】(i)因为且，所以有，从而由.并且等号成立当且仅当.于是当时取得最小值1.(ii)因为且，所以，其中.注意到.于是有｡从而.即.所以，对所有均有.其中.从而有：于是：.并且等号成立当且仅当或，.所以的最大值为.综上所述，的最小值和最大值分别为1和.14．【2019年浙江预赛】设(为常数).若，证明:【答案】证明见解析【解析】记，则有.由已知，(因为)即.15．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】设正实数满足.记.证明:.【答案】证明见解析【解析】注意到.对k=1，2，…，99，由平均值不等式知，从而有   ①记①式的右端为T，则对任意i=1，2，…，100，ai在T的分子中的次数为i－1，在T的分母中的次数为100－i.从而.又，故T≤1，结合①得.16．【2018年福建预赛】已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60.（1）求 a+b+c的最大值（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求的最小值【答案】（1）（2）5【解析】（1)由柯西不等式，知 .∴.                    当且仅当，即时，等号成立.∴a+b+c的最大值为.                （2）由a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，知a，4－a，b，4－b，c，6－c均为正数，∴.∴.又当a=b=2，c=3时，满足a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，3a2+3b2+4c2=60，且.∴的最小值为5.17．【2018年贵州预赛】证明：（1）（k≥2，k∈N）；（2）分别以1，，……，，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为的正方形内．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）(2)由（1）知， 故以边长为，…的正方形可以并排放入底为1，高为的矩形内，而不重叠．取k=2，3，4，…，即得底分别为，…，高分别为，……的一系列矩形， 这些矩形的底小于1，高的和为因此，以1，，…，，…为边长的正方形中，除了边长为1，的正方形外，其余的正方形全部可以放入底为1，高为的矩形中．而边长为1，的三个正方形显然可以放入底为，高为1的矩形内．18．【2018年重庆预赛】设．证明：．【答案】见解析【解析】证明：由递推式得所以从而得 又得数列单调递增，所以．特别地 由递推式可得．从而. 由均值不等式及已证结论有．所以特别地故19．【2018年陕西预赛】设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.20．【2018年陕西预赛】设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.21．【2018年陕西预赛】设.证明：.【答案】见解析【解析】由对称性不妨设，则.当时，即时，由切比雪夫不等式.由不等式知.且易知.故.当且仅当时，等号成立.当时，，显然有.综上所述，原不等式成立.22．【2018年安徽预赛】⑴求证：对于任意实数x、y、z都有.⑵是否存在实数，使得对于任意实数x、y、z有恒成立？试证明你的结论.【答案】（1）见解析 （2）见解析.【解析】⑴由均值不等式，可知.故有.⑵.上式≥0恒成立，当且仅当.化简得.故存在满足要求.23．【2018年湖北预赛】已知正数满足，求的最小值.【答案】【解析】由柯西不等式可得，，所以，        ①取等号的条件分别为，                                ②                                ③当时，有，结合②③得又，所以，整理得，故            ④记，则，所以上为增函数，故当时，于是，由④可得，从而代入②③求得代入①式，整理得，因此的最小值为.24．【2018年吉林预赛】设x，y，z≥0，且至多有一个为0，求的最小值.【答案】12【解析】不妨设.情形一：当时，因为；；.所以当且仅当，且时，取到12.情形二：当时，又，故，从而.故.综上，.25．【2018年河北预赛】若a、b、c为正数且a+6+c=3，证明： 【答案】见解析【解析】因为，同理三式相加得所以故又，所以综上可得.26．【2018年四川预赛】设为正实数，求的最小值.【答案】【解析】记，当时，有最小值下证：解法一当时，可取到等号.所以，的最小值为解法二：当时，可取到等号．所以，的最小值为．解法三：注意到．于是，故．当时，可取到等号．所以，的最小值为．27．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围.【答案】【解析】解1：，对于，所以只要考虑.（1）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得（2）当时，即，此时函数的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对b=0有.（3）当时，即时，此时函数的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0有.（4）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，对任意，所以,解得.综上或.解2：设，则有依题意，，或.28．【2018年辽宁预赛】已知实数、b、c满足，求的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】由均值不等式和柯西不等式可得.当时取等号，故M的最大值为.要使M取最小值，只需考虑，且的情形.令，则，此时.由于当时取等号，令，若上的最大值，则为M的最小值.由于，则内取到最大值，因此在处取到，由于令，两边平方，整理可得此方程有根.又因为，且是增根，故的最大值点.因此，是M的最小值.29．【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．【答案】见解析【解析】对正整数n的位数使用数学归纳法．当是一位数，即时，所证式显然成立，这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，即，其余，所以，左边==右边．假设当正整数不超过k位，即时，结论皆成立．现考虑位数，即时的情形．设的首位数字为r．则.       ①若，则在数的各位数字中，，其余.显然，.若，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r，…，个9．则的各位数字中，含有个r、个j.注意到，正整数不超过k位．由归纳法假设，对有                            ②则当位数时，结论也成立．故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须，此时，由式①得，即可表示为的形式.上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有，其余.故30．【2018年全国】设n是正整数，均为正实数，满足，且.求证：.【答案】证明见解析【解析】由条件知，.记，则化为。要证明.  对，由于ki≥1及知：.结合知，为证明①，仅需证明当时，有.  ②对n进行归纳.当n=1时，结论显然成立.当n=2时，由可知 ③因此n=2时结论成立。设n=m时结论成立，则当n=m+1时，利用归纳假设知，.最后一步是在③中用（注意）分别代替.从而n=m+1时结论成立由数学归纳法可知，②对所有正整数n成立，故命题得证.31．【2018高中数学联赛B卷（第02试）】设a、b是实数，函数，证明:存在，使得.【答案】证明见解析【解析】证法一只需证明存在u，v∈[1，9]，满足，进而由绝对值不等式得，故与|f(v)|≥2中至少有一个成立.当时，有.当时，有.再分两种情况:若，则.若，则.综上可知，存在u，v∈[1，9]，满足f(u)－f(v)≥4，从而命题得证.证法二用反证法.假设对任意x∈[1，9]，均有|f(x)|<2，则易知   ①   ②   ③由①、②得，2a－6=f(2)－f(1)；又由②、③得，6a－2=f(3)－f(2).由上述两式消去a，可知.但，矛盾!从而命题得证.32．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设k、m为实数，不等式对所有x∈[a，b]成立.证明:.【答案】证明见解析【解析】令f(x)=x2－kx－m，x∈[a，b]则f(x)∈[－1，1].于是   ①   ②   ③由①+②－2×③知，，故.33．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.【答案】最小值为1；最大值为.【解析】由柯西不等式，当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1.因为.当时不等式等号成立，故欲求的最大值为.34．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设不等式对所有x∈[1，2]成立，求实数a的取值范围.【答案】3<a<5.【解析】设，则t∈[2，4]，于是对所有t∈[2，4]成立.由于.对给定实数a，设f(t)=(2t－a－5)(5－a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数.注意t∈[2，4]，因此f(t)<0等价于，解得3<a<5.所以实数a的取值范围是3<a<5.