专题39排列组合与图论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题39排列组合与图论第二缉1．【2017年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1次手,但有4个人各握了两次手之后就离开了.这样,整个活动共握了60次手,那么最开始参加活动的人数是                                          .【答案】15【解析】提示:设参加活动的人数为,其中中途退出的4个人之间的握手次数为.从而由题意得,即.由且为整数,可得.故最开始参加活动的人数为.2．【2016年福建预赛】将16本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9=216.3．【2016年山东预赛】在的展开式中，x的整数次幂项的系数和为_____.【答案】【解析】令，.由二项式定理，知P、Q中的x的整数次幂项之和相同，记作S（x），非整数次幂项之和互为相反数.故令.则所求的系数和为.4．【2016年山东预赛】设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足.则这样的排列有________个.【答案】【解析】因为，所以，.原式化简得.注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次..故.从而，，.由分布计数原理，排列的个数为.5．【2016年新疆预赛】平面上个圆两两相交,最多有______个交点.【答案】【解析】两个圆相交时,最多有个交点;三个圆相交时,最多有个交点;四个圆相交时,最多有个交点;个圆相交时,最多有个交点.6．【2016年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.【答案】155【解析】甲、乙共同选修的课程有种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用表示其余四门课程中甲选门、乙选门的情形.则由,知共有六种情形.于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为.7．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.8．【2016年吉林预赛】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.9．【2016年上海预赛】将90 000个五位数10 000,10 001,···,99 999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位数，有些卡片上所打印的数(如19 806倒过来看是90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。则不会引起混淆的卡片共有____张。【答案】88060【解析】0~9这十个数字中，倒过来也能表示数字的有0、1、6、8、9五个.因为第一位不能放0，最后一位也不能放0，所以，这种倒过来也能看的五位数共有4x5x5x5x4=2 000个.这2000个五位数中还要除去倒读与正读不会混淆的五位数(如10 801 ,60 809).现将五位数的数字分成三组.[第一组]首位与末位一组共有四种：(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)；[第二组]第二位与第四位一组共有五种：(0,0)，(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)；[第三组]第三位可取0、1、8三种.故倒读与正读一样的五位数有4x5x3=60个.从而，不会引起混淆的五位数有90 000-(2 000-60) =88 060(个).10．【2016年上海预赛】红、蓝、绿、白四个色子，每个色子的六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6．同时掷这四个色子使得四个色子朝上的数的乘积等于36，共有__________种可能．【答案】48【解析】．对于上述每一种情形，分别有种可能．综上，共有48种可能．11．【2016年上海预赛】如图，有16间小三角形的房间．甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间．则他们在不相邻（没有公共边）房间的概率为__________（用分数表示）．【答案】【解析】易知，顶点处的房间各与一间房相邻，在大三角形边上（不过顶点）的房间各与两间房相邻，余下的房间各与三间房相邻．因此，两房相邻的可能数为．故所求概率为．12．【2016年四川预赛】在的展开式中，的系数是__________．【答案】180.【解析】因为二项式，展开式的通项公式为，而对于的展开式，其中，都为自然数，令，解得，所以展开式的系数为。13．【2016年辽宁预赛】在的展开式中,x的幂指数是整数的各项系数之和为______.【答案】【解析】注意到, 由x的幂指数为整数,知r为奇数.记.又,以上两式相减得.14．【2016年江苏预赛】在的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．【答案】1896【解析】均衡染法如图．若第一个的子方格表中四个格分别染A、B、C、D色，则第三列上面两个格只能染A、C色．若第三列第一个格染C色，则第三列第二个格染A色，然后，第三行第二个格只能染B色，第三行第一个格只能染A色，第三行第三个格只能染C色，……依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现．当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有种染法；当每行中两色交错出现时，类似地，有种染法．又重复的情形有种，故不同的染法数为．15．【2016年湖南预赛】观察下列等式：，，，，……由以上等式推测出一般的结论：对于______.【答案】【解析】右边为两项之和，前一项依次为 …后一项为, …,,因此.16．【2016年湖北预赛】以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有_______个(注：全等的三角形视为形状相同).【答案】14【解析】正十三边形的顶点将其外接圆分成13等份，设三角形的三个顶点之间(按逆时针方向)所含圆弧的份数分别为a、b、c．则，且．要考虑形状不同的三角形的个数，只需确定数组(a，b)有多少种可能的取值．为使得到的三角形两两形状不同，可设．则1≤a≤4，且.当a=1时，有六种可能的值；当a=2时，b有四种可能的值；当a=3时，b有三种可能的值；当a=4时，b有一种可能的值．因此，以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形个数为．17．【2016年河南预赛】过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为。这样的截面共可作出______个。【答案】18【解析】不妨设正四面体的棱长为1，正的中心为.在内，以为圆心、为半径作圆.则所求截面与平面的交线为改圆的切线.分三种情形讨论.（1）切线与的一边平行时，有六个这样的截面；（2）切线（点在边上，点在边上）且 ，则截面为等腰三角形，这样的截面有六个；（3）过点的切线，与交于点，由，对应为等腰三角形，这样的截面有六个.综上，满足条件的截面共有18个.18．【2016年甘肃预赛】如图，a为程序框图中输出的结果.则二项式的展开式中含项的系数为___________.【答案】【解析】当时，.注意到，.从而，项的系数为.19．【2015年上海预赛】有十个大小相同的小球 ， 其中五个为红球，五个为白球.现将这十个球任意排成一排，并从左至右依次编号为1，2，…，10.则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有_________种.【答案】126【解析】首先，编号数总和为.故红球编号之和与白球编号数之和不可能相等.其次 ，若某个排法使红球的编号数之和大于白球的编号数之和，则对调红球与白球位置即得红球编号数之和小于白 球编号数之和 的排法， 反之亦然.因此，红球编号数之和大于与小于白球编号数之和的排法种数相等．从而， 所求的排法种数为.20．【2015年安徽预赛】设为正整数.把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每名选手均不兼项.则配对方式总数为______.【答案】【解析】从名男选手中选取人作为男双选手有种选法，把他们配成对男双选手有种配对方式.女选手类似.把名男选手和名女选手配成对混双有种配对方式.因此，配对方式总数为.21．【2015年山东预赛】把1,2,…,6这六个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰先增后减.则这样的数列共有______个.【答案】30【解析】从中选出一个数排在6的右侧,其余数排在6的左侧,得到先增后减的数列有个;从1,2,…,5中选出两个数排在6的右侧,其余数排在6的左侧,得到先增后减的数列有个;……因此,满足条件的数列总个数为.22．【2015年湖南预赛】将1，2，…，9这九个数字填在如图2的九个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大.当3、4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为__________.【答案】6【解析】第一行从左到右前面两个格只能安排1、2，最右下角的格只能为9，这样只要在剩余的四个数5、6、7、8中任选两个，安排在右边一列的上面两个格中（由小到大），剩余两个数安排在最下面一行的前面两个格中（由小到大），故总方法数就是在四个数5、6、7、8中任选两个的方法数，即种.23．【2015年湖北预赛】将五名大学生分配到某乡镇的三个村就职.若每个村至少一名，则不同的分配方案数为__________.【答案】150【解析】按照每个村分得的大学生的人数，满足要求的只有两类，即1、1、3和1、2、2，故不同的分配方案数为：.24．【2015年湖北预赛】若，则__________.【答案】【解析】分别令，得，.于是，.令，得：.于是，.从而，.25．【2015年甘肃预赛】被8除所得的余数为______.【答案】5【解析】注意到, .故所求结果为5.