专题41平面解析几何第一缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题41平面解析几何第一缉1．【2021年福建预赛】已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 、 为双曲线上一点，R、r分别为 的外接圆、内切圆半径.若 ,则                                                          .【答案】 【解析】解法一：由题意可得 ，在 中，由正弦定理可得： ，如图，不妨设点 在双曲线右支上， 的内切圆 切 轴于点 ,则由双曲线性质知, 为双曲线的右顶点, 则 .又 ，因此, .将 代入上式，并整理得 结合 ,解得 .所以, .解法二:依题意, .记 ,不妨设点 在双曲线右支上,则 .在 中，由正弦定理得： 所以, ,且： 因此, .又 所以, , 周长 , 的面积 .由 ,得 所以, .2．【2021年重庆预赛】过拋物线 的焦点 作两条斜率之积为 的直线 ,其中 交 于A,C两点, 交 于B,D两点，则 的最小值为                                           .【答案】 【解析】设直线的倾斜角分别为 ,则 ,从而 .当且仅当 时等号成立.3．【2021年广西预赛】设点 在椭圆 上， 是该椭圆的两个焦点，若 的面积为 ,则         .【答案】 【解析】设 ,则 ,解得 .4．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】在平面直角坐标系中,拋物线的焦点为,过上一点(异于)作的切线,与轴交于点若,则向量与的数量积为                                           .【答案】【解析】设，则的切线的方程为.令得,故又坐标为,进而，结合可分别得.所以.于是.5．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】在平面直角坐标系中,已知抛物线的图像与拋物线的图像关于直线对称,则实数的乘积为                                           .【答案】【解析】对拋物线上任意一点,有   ①设点关于直线的对称点为.由,可知,因在拋物线上,故,这等价于   ②由点取法的任意性,比较①、②得.因此有,解得,故依次可得（满足且).从而6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中,圆经过点, , ,则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为                                           .【答案】【解析】记,圆经过点.注意到∠OBA=90°(直线OB与AB的斜率分别为1和),故OA为圆的直径.从而圆上的点到原点的距离的最大值为.7．【2020年福建预赛】设 为双曲线 的左、右焦点,过 的直线 与双曲线 的右支交于A、B两点,且 ，则双曲线 的离心率为                                           .【答案】 【解析】如图4,设 依题意有 , 由 则 8．【2020年甘肃预赛】已知椭圆 为椭圆上的任意一点,过点 分别作与 和 平行的直线分别与直线 交于 两点.则 的最大值为                                           .【答案】2【解析】如图5.设 于是,平行于 的直线分别为 , .由 由 .故 .又 ,则 .从而, ,当 或 时, .9．【2020年广西预赛】已知 为坐标原点,曲线 与曲线 交于点M、N.若 的外接圆经过点 ,则曲线 的方程为                              .【答案】 【解析】如图2,设点 , 为MN与 轴的交点.则 因为O、M、P、N四点共圆,所以,由相交弦定理得 .解得 ， 代人曲线 的方程得 .解得 舍去)或 .故曲线 的方程为 10．【2020年吉林预赛】设椭圆 的左焦点为 ,过 的直线 与橙圆交于点A、B.当 的周长最大时, 的面积为                               .【答案】3【解析】设 为右焦点.注意到， ,上式取等号时, 过点 .于是, 与 轴垂直,此时, 11．【2020年浙江预赛】某竹竿长为24米,一端直在墙上,另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离均为7米,则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为                                          或                                           .【答案】 【解析】如图2,设 ，则 , .故 .12．【2020年重庆预赛】已知 与抛物线 : 交于点 为 的直径,过点 的直线与抛物线 交于两点 、E.则AD与AE的斜率之积为                                           .【答案】2【解析】易知，点 .设 .由B、D、E三点共线 13．【2020年新疆预赛】直线 与抛物线 交于A,B两点, 为抛物线上的一点, ,则点 的坐标为         .【答案】 或 【解析】设 ,由 得 则 ， .又 ,所以 , .因为 ,所以 ,印有 .即: ，即: ,即: .显然 ,否则 ,则点 在直线 上，从而点 与点 或点 重合.所以 ,解得 故所求点 的坐标为 或 .14．【2019年全国】设A，B为椭圆的长轴顶点，E，F为的两个焦点，|ABl=4，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为                                           .【答案】1【解析】由题意知该椭圆可设为.由余弦定理，.所以.15．【2019年江苏预赛】已知与三条直线都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数的值的和为                   .【答案】3【解析】由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故或，从而实数的值的和为.16．【2019年江西预赛】若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点,其中O是原点,A,B在抛物线上,则△OAB的面积S=                                           .【答案】.【解析】抛物线的焦点为F(1,0),因F为△OAB的垂心,则OF⊥AB,故可设A,B的坐标为A(a2,2a),B(a2,-2a),(a>0);于是OA的方程为ay=2x,,BF的斜率,据,得，因此.所以.17．【2019年内蒙古预赛】已知是圆心在原点的单位圆上三个点的坐标,则          .【答案】4【解析】原式18．【2019年浙江预赛】设三条不同的直线:，，，则它们相交于一点的充分必要条件为        .【答案】【解析】设，设三条直线相交于点，则有，消去得，即，把代入得，当时，解得，不合题意舍去;所以，解得.反之，当时，方程组有解.19．【2019年重庆预赛】已知为椭圆的内接三角形，且过点，则的面积的最大值为________.【答案】  【解析】经伸缩变换得内接于圆，过点，，设距的距离为，则，，，易知当 时，有最大值为，∴的最大值为 .20．【2019年福建预赛】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中F1为左焦点.点P为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以PF1为底边的等腰三角形，则的取值范围为                                           .【答案】【解析】设双曲线的焦距为2c.则依题意，有.由得.于是，又.设1-2e1=t，则，由在区间上为减函数，得f(t)值域为.∴的取值范围为.21．【2019年广西预赛】已知点在圆上,直线l:3x+4y+8=0与圆C相交于A、B两点,则        .【答案】【解析】依题意有圆C:(x-1)2+(y-1)2=25记AB中点为D,AC中点为E,则又,所以则有.故所以22．【2019年吉林预赛】若直线2x+y-2=0与直线x+myー1=0互相垂直,则点P(m,m)到直线x+y+3=0的距离为                              .【答案】【解析】直线的斜率为.直线x+my-1=0的斜率为,因为两直线互相垂直,所以.解得m=-2,故P(-2,-2),所以P到直线x+y+3=0的距离为.23．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】设A、B为椭圆的长轴顶点，E、F为的两个焦点，，，P为上一点，满足，则△PEF的面积为                                           .【答案】1【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为.根据条件得2a=|AB|=4，，可知a=2，b=1，且由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4，结合得，所以∠EPF为直角，进而.24．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r为半径的圆上存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r的最小值为                                           .【答案】4【解析】由条件知，故.即.上述关于a的一元二次不等式有解，故判别式，解得r≥4.经检验，当r=4时，满足条件.因此r的最小值为4.25．【2018年山西预赛】若双曲线的两个焦点分别是椭圆的两个顶点，而双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则双曲线的方程是：________.【答案】【解析】椭圆的长轴顶点为，则其焦点在X轴上，用分别表示的半焦距，则，而；所以椭圆焦点为.所以双曲线的实轴为X轴，设其方程为，由，所以，因此双曲线的方程是.26．【2018年江苏预赛】圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为________.【答案】【解析】抛物线的准线方程为.设所求圆的圆心为，则，且，解得，故所求圆的方程为.故答案为：27．【2018年贵州预赛】己知O为△ABC所在平面上一定点，动点P满足，其，则P点的轨迹为________．【答案】∠BAC的角平分线【解析】,而，且，所以表示∠BAC的角平分线上的一个向量．因此，P点的轨迹为∠BAC的角平分线．故答案为：∠BAC的角平分线28．【2018年湖南预赛】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，则绳子的最短的长度_______.【答案】【解析】①沿平面A A 1B 1B、平面 A 1B 1C 1D 1铺展成平面，此时 AC 1=，②沿平面 AA 1D 1D、平面 A 1D 1C 1B 1铺展成平面，此时 AC =，③沿平面 AA 1B 1B、平面 BB 1C 1C铺展成平面，此时 AC 1=故绳子的最短的长为.故答案为.29．【2018年陕西预赛】如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，且.设点上的射影为，今向四边形内任投一点，则点落在内的概率是________.【答案】【解析】所求概率.30．【2018年陕西预赛】如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，且.设点上的射影为，今向四边形内任投一点，则点落在内的概率是________.【答案】【解析】所求概率.31．【2018年陕西预赛】如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，且.设点上的射影为，今向四边形内任投一点，则点落在内的概率是________.【答案】【解析】所求概率.32．【2018年广东预赛】已知关于的实系数方程的四个不同的根在复平面内对应的点共圆。则取值的集合是______.【答案】【解析】易知方程的两根为.当，即时，方程有两个共轭的虚根，且的实部为，此时，对应的点在以对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为，即.将对应点的坐标代入方程，得.故m的取值范围是.33．【2018年广东预赛】已知圆围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆围成的封闭区域内（含边界）整点数的，则正实数的取值范围是_________.【答案】【解析】圆围成的封闭区域内的整点数为，围成的封闭区域内的整点数为.对任意，且.令m是满足上式k的最大整数，则.注意到＜20，可得，因此.若，则由，可知满足条件的最大整数，因此，矛盾.所以.若，则，但＞21，与矛盾.若=21，则，不可能因此=22，，不难验证.故.故答案为：34．【2018年贵州预赛】函数 的最小值是______．【答案】【解析】因为此即为直线y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离．故答案为：35．【2018年山东预赛】若直线交椭圆，且为整数）于点．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．【答案】    【解析】设，由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得．由在直线上，得到．由在椭圆上，得到．两式相减并整理得，整理得．            ①因为在直线上，所以有．将代入得，整理得．        ②联立①②，且注意到为整数，解得．故所求的椭圆方程为．