专题54复数第一缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题54复数第一缉1．【2021年福建预赛】若 为虚数单位)为方程 的三个解,则         .【答案】3【解析】依题意有： ，于是, .所以, .2．【2021年重庆预赛】已知复数 满足 为叙述单位，则           .【答案】 【解析】由 知 ,则 .所以 .3．【2021年浙江预赛】设复数 的实虚部x,y所形成的点 在椭圆 上。若 为实数，则复数           .【答案】 或 【解析】由 , 所以 , 则 ,所以  或 .4．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】设为实数,复数这里为虚数单位,若为纯虚数，则的值为        .【答案】【解析】由于为纯虚数,故.所以.5．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设z为复数.若为实数(i为虚数单位),则的最小值为       .【答案】【解析】解法1:设,由条件知,故.从而,即.当时,取到最小值.解法2:由及复数除法的几何意义,可知复平面中z所对应的点在2与i所对应的点的连线上(i所对应的点除外),故的最小值即为平面直角坐标系中的点到直线的距离,即.6．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设9元集合,是虚数单位.是A中所有元素的一个排列,满足,则这样的排列的个数为                                           .【答案】8【解析】由于,故,,,.由乘法原理知,满足条件的排列的个数为.7．【2020年福建预赛】已知复数 满足 ，若 为正实数,则          .【答案】 【解析】由题意,知 的实部与虚部相等.设 则 i i.由 为正实数知 ,且 解得 因此, .8．【2020年甘肃预赛】已知复数 满足 则           .【答案】 【解析】由 9．【2020年广西预赛】已知复数 满足 .则 的最小值为        .【答案】 【解析】注意到, 在复平面上对应的曲线方程为 .记 则 .故 ,当且仅当 时,上式等号成立.10．【2020年四川预赛】已知复数 i ,满足 i.则           .【答案】3【解析】由条件知 , .注意到 .经验证,仅有 符合条件.因此, 11．【2020年浙江预赛】已知 为复数,且 当 取得最小值时,复数        或        .【答案】 【解析】注意到, ，此时, .故 .12．【2020年新疆预赛】已知复数 满足 ,则 的最小值为          .【答案】 【解析】解法一:设 ,则 所以, 解法二: ,由复数的几何意义知, 表示复数 对应的点与点 的距离。而各数 对应的点在单位圆上，故: .13．【2019年内蒙古预赛】已知,则        .【答案】【解析】显然,则(x-1)(x2+x+1)=0,即x3=1.所以.即.14．【2019年上海预赛】若复数z满足,则的最大值为         .【答案】【解析】设z=x+yi(x、y∈R)，依题意,知x、y满足.设.则，即的最大值为.15．【2019年上海预赛】设a为实数,关于z的方程有四个互不相等的根,它们在复平面上对应的四个点共圆.则实数a的取值范围是                                           .【答案】【解析】由.由.据题意,此方程有四个不相等的根知.分情况讨论(1)若a2-1>0,即a>1或a<-1,则.为了保证这四个点共圆据圆幂定理,知只需.即.解得a=-3(a=1舍去).(2)若a2-1<0,即-1<a<1,则.从而,四个点恰构成一个等腰梯形,必然四点共圆.综上,实数.16．【2019年浙江预赛】设为复数，且满足(其中为虚数单位)，则取值为     .【答案】【解析】由，设，由得，于是.17．【2019年重庆预赛】已知复数，，使得为纯虚数，，，则的最小值是________.【答案】 【解析】设，则，由已知 ∴∴ ∴∴。 当 时，最小值能取到。18．【2019年福建预赛】已知复数满足，且，则           .【答案】【解析】先求复数的平方根设，则.，解得，.由，知为复数的两个平方根.由对称性，不妨设.于是，，复数对应的点，构成边长为4的正三角形.又复数对应的点关于原点O对称，∴O为的高，故.19．【2018年江苏预赛】已知，其中是虚数单位，则的值为________.【答案】5【解析】由，即.故答案为：520．【2018年浙江预赛】已知虚数z满足，则________.【答案】【解析】，所以.21．【2018年广西预赛】设为正整数，且.则=______.【答案】8.【解析】由题意得.又因为为奇偶性相同的整数，所以，解得.故.22．【2018年安徽预赛】设三个复数1、i、z在复平面上对应的三点共线，且，则z=_________.【答案】4-3i或-3+4i【解析】设，由题设得.故（）=（4，-3）或（-3，4）.所以z=4-3i或-3+4i.故答案为：4-3i或-3+4i23．【2018年山东预赛】若复数满足，则的最小值为______．【答案】1【解析】设，则点的轨迹为线段．因此为原点的距离，即．24．【2018年甘肃预赛】在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，从而25．【2018年河南预赛】已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______．【答案】512    【解析】易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．又．故填512．26．【2018年河北预赛】若,且,则的最小值为______________．【答案】3【解析】试题分析：设Z=a+bi（a，b∈R），满足|Z-2-2i|=1的点均在以C1（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|Z+2-2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3.考点：复数模的几何意义及数形结合的思想方法，27．【2018年浙江预赛】已知虚数z满足，则________.【答案】【解析】，所以.28．【2018年辽宁预赛】设、b均为实数，复数的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.【答案】【解析】由题设知，且为纯虚数，故.因此解得，故.故答案为：29．【2018年福建预赛】设复数满足，则的最大值为______．（为虚数单位，为复数的共轭复数）【答案】6    【解析】设，则，由，知．所以．所以．当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为6．30．【2018年全国】设复数z满足|z|=1，使得关于x的方程有实根，则这样的复数z的和为          .【答案】【解析】设z=a+bi（a，b∈R，a2+b2=1）.将原方程改为（a+bi）x2+2（a-bi）x+2=0，分离实部与虚部后等价于：  ①  ②若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而，此时存在实数满足①、②，故z=-1满足条件。若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有.综上，满足条件的所有复数之和为.31．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设复数满足|z|=1，使得关于x的方程有实根，则这样的复数z的和为                                           .【答案】【解析】设=a+bi(a，b∈R，).将原方程改为，分离实部与虚部后等价于   ①   ②若b=0，则a2=1，但当a=1时，①无实数解，从而a=－1，此时存在实数满足①、②，故满足条件.若b≠0，则由②知x∈{0，2}，但显然x=0不满足①，故只能是x=2，代入①解得，进而，相应有.综上，满足条件的所有复数z之和为.32．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知复数满足，其中r是给定实数，则的实数是        (用含有r的式子表示).【答案】【解析】记.由复数模的性质可知，因此.于是，解得.33．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设复数z满足，则|z|的值为        .【答案】【解析】设x=a+bi，a，b∈R.由条件得.比较两边实虚部可得，解得a=1，b=2，故z=1+2i，进而.34．【2017年辽宁预赛】已知复数满足,则的最大值为       .【答案】【解析】提示：设,则.因为：，原式，当时等号成立.35．【2017年山东预赛】已知复数满足,则的最小值为       .【答案】3520【解析】提示：由，而当,即时,等号成立,所以的最小值为3520.36．【2017年四川预赛】设,复数,其中是虚数单位.若成等比数列,则实数的值是         .【答案】0【解析】提示:由条件知,注意到,则有,即,解得.37．【2017年甘肃预赛】设复数,则的最小值是         .【答案】【解析】提示：点,,动点如图所示,易知点在圆外.直线的方程为,且直线与圆相切于点,即使取得最小值.38．【2017年安徽预赛】设复数满足,其中是虚数单位,则的模长       .【答案】5【解析】提示:设,则故.39．【2017年湖南预赛】已知,若关于的方程为虚数单位)有实数根,则复数的模的最小值是        .【答案】1【解析】提示：设是方程的实数根.则进一步得，由方程组中的第2个方程，得，代入第1个方程得，即,得.所以，当且仅当时等号成立.所以的模的最小值是1.40．【2017年内蒙古预赛】设复数,则函数的最大值为       .【答案】【解析】提示：因为,所以令,解得.当时,;当.所以当时,最大,且而,所以.