专题62平面几何第二辑-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

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备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题62平面几何第二缉
1．【2019年江苏预赛】如图，在凸五边形ABCDE中，已知∠ABC=∠CDE=∠DEA=90°，F是边CD的中点，线段AD,EF相交于点G，线段AC,BG相交于点M.若AC=AD,AB=DE，求证:BM=MG.

【答案】证明见解析
【解析】因为AC=AD,F是边CD的中点，连AF，则AF⊥CD.又∠CDE=∠DEA=90°，故四边形AEDF是矩形.
所以△ACF≅△ADF≅△EFD.
因此∠EFD=∠ACF，从而EF∥AC.
又因为AB=DE，所以△ACB≅△EFD，因此△ACB≅△ACF.
故AB=AF,CB=CF.

连BF,BF交AC于N，AC垂直平分线段BF，BN=NF.
线段AC,BG相交于点M，因为EF∥AC，由平行截割定理，BM=MG.
2．【2019年江西预赛】BE,CF分别是锐角三角形△ABC的两条高,以AB为直径的圆与直线CF相交于点M,N,以AC为直径的圆与直线BE相交于点P,Q.证明:M,N,P,Q四点共圆.
【答案】证明见解析
【解析】如图设三角形△ABC的垂心为,则MH⋅HN=(MF-HF)(NF+HF)
=(MF-HF)(MF+HF)=MF2-HF2
=AF⋅FB-AH2-AF2=AF⋅AB-AH2.

同理有,PH⋅HQ=AE⋅AC-AH2.因BCEF四点共圆,知AF·AB=AE·AC,
故由以上两式得MH·HN=PH·HQ,
所以M,N,P,Q四点共圆.
3．【2019年福建预赛】如图，O、H分别为锐角△ABC的外心、垂心，AD⊥BC于D，G为AH的中点.点K在线段GH上，且满足GK=HD，连KO并延长交AB于点E.

证明:(1)EK∥BC;
(2)GE⊥GC.
【答案】证明见解析
【解析】(1)如图，连BO并延长交圆O于点F，由O为△ABC外心，知BF为圆O的直径.
∴ AF⊥AB, FC⊥BC.

结合H为△ABC的垂心，得HC⊥AB，∴AF∥HC.
同理，FC∥AII.
∴四边形AHCF为平行四边形，FC=AH.
作OM⊥BC交BC于点M，则OM=12FC.
因此，由G为AH的中点，GK=HD，可得KD=KH+HD=KH+GK=GH=12AH=12FC=OM.
结合KD∥OM，得四边形OMDK为平行四边形.∴OK∥MD，即EK∥BC.
(2)作GN⊥AB于N.

由H为△ABC的垂心，知∠NAG=90°-∠ABC=∠DCH，结合HD⊥BC，得△ANG∽△CDH.
∴ NGDH=AGCH, ∠NGA=∠DHC.
又GK=HD, AG=GH，因此，NGGK=GHHC.
又∠NGK=180°-∠NGA=180°-∠DHC=∠GHC.∴△NGK∽△GHC.∴∠KNG=∠CGH.
由(1)知，GK⊥KE.因此，E、K、G、N四点共圆.
∴∠CGH=∠KNG=∠GEK.
∴∠EGC=∠EGK+∠CGH=∠EGK+∠GEK=90°
∴GE⊥GC.
4．【2019年广西预赛】如图所示,AD、AH分别是△ABC(其中AB>AC)的角平分线、高线,点M是AD的中点,△MDH的外接圆交CM于点E.求证∠AEB=90°.

【答案】证明见解析
【解析】连结HE.由M是Rt△AHD斜边AD的中点可知MA=MH=MD,∠MDH=∠MHD.
由M,D,H,E四点共圆可得∠HEC=∠MDH=∠MHD.
从而∠MHC=180°-∠MHD=180°-∠HEC=∠MEH.
又由∠CMH=∠HME可知△CMH∽△HME.故MHMC=MEMH，从而MAMC=MEMA.
又因为∠CMA=∠AME,所以△CMA∽△AME.故∠MCA=∠MAE
由AD是角平分线,可得∠BAE=∠BAM+∠MAE=∠MAC+∠MCA=∠DME.
则有∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠DME=180°,从而A,B,H,E四点共圆
所以∠AEB=∠AHB=90°.命题得证.
5．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点点P在△ABC内，使得AP平分∠BAC.直线MP与△ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明:若DE=MP，则BC=2BP.

【答案】证明见解析
【解析】如图，延长PM到点F，使得MF=ME.连结BF、BD、CE.
由条件可知∠BDP=∠BAP=∠CAP=∠CEP=∠CEM.
因为BM=CM且EM=FM，所以BF=CE且BF∥CE.
于是∠F=∠CEM=∠BDP，进而BD=BF.
又DE=MP，故DP=EM=FM.

于是在等腰△BDF中，由对称性得BP=BM.从而BC=2B=2BP
6．【2019高中数学联赛B卷（第02试）】如图，点A、B、C、D、E在一条直线上顺次排列，满足BC=CD=AB⋅DE，点P在该直线外，满足PB=PD.点K、L分别在线段PB、PD上，满足KC平分∠BKE，LC平分∠ALD.

证明:A、K、L、E四点共圆.
【答案】证明见解析
【解析】令AB=1，BC=CD=t(>0)，由条件知DE=t2.

如图，注意到∠BKE