专题02 【大题限时练2】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集

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专题02 大题限时练21．已知数列满足：，．（1）求证数列是等比数列；（2）若数列满足，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2【详解】（1）证明：因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列是等比数列；（2）由（1）得，所以，则，因为，所以，即数列为递减数列，所以的最大值为．2．已知的内角、、的对边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为，可得，由正弦定理可得，即，可得，可得，可得，因为为三角形内角，可得，可得．（2）由，可得，又，，由余弦定理可得，解得，，所以．3．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：性别科目男生女生合计物理300  历史 150 合计400 800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】见解析【详解】（1）根据所给数据完成列联表：性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800，有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：012．4．如图，在正六边形中，将沿直线翻折至△，使得平面平面，，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，，又是的中点，，，又正六边形中，，，，，又为的中点，，，四边形为平行四边形，故，平面，平面，平面；（2）由条件可知，，，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正六边形的边长为2，则，，设平面的法向量为，则，则可取，设平面的法向量为，则，则可取，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．5．已知，是椭圆的左、右焦点，曲线的焦点恰好也是，为坐标原点，过椭圆的左焦点作与轴垂直的直线交椭圆于，，且的面积为3．（1）求椭圆的方程；（2）过作直线交于，，交于，，且与的面积相等，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）【详解】（1）因为曲线的焦点恰好也是，所以椭圆中，，因为的面积为3，所以，所以，解得，，，所以椭圆的方程为；（2）因为为，的中点，所以到直线的距离为到距离的一半，又因为与的面积相等，所以，因为，设的方程为，设，，，，，，，，联立方程组，可得，则，由两点间距离公式可得，，所以，联立方程组，可得，则，所以，因为，解得故直线的斜率为．6．已知函数．（1），求函数的最大值；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）令，过点，做曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内．【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【详解】（1）当时，的定义域为，令，得，令，得．因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以（1）（2）令，若，存在（e），与恒成立矛盾，所以必有，，△，，所以方程必有一正根，记作，所以函数在单调递增，在，单调递减，若满足条件，必有，注意（1）则有，代入式，解得，所以的取值集合为（3）证明：因为，设两切点为，，，不妨设在的右边，则，，所以，两点处的切线方程分别为，，令，解得，，因为，所以，要证明，即证明，因为，即证，设，则，所以在上是增函数，所以（1），则，所以，故点一定在第一象限内