专题14 【大题限时练14】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集

专题14 大题限时练14

1．（1）写出一个等差数列的通项公式，使满足①，②是等差数列，其中是的前项和．（写出一个就可以，不必证明）

（2）对于（1）中的，设，求数列的前项和．

【答案】见解析

【详解】（1），；

（2），

，①

，②

①②可得

，

化简可得．

2．如图，在平面四边形中，已知，．

（1）当、、、共圆时，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）中，由余弦定理得，，

中，由余弦定理得，

因为、、、共圆，

所以，即，

所以，，

解得，

故；

（2）中，由余弦定理得，，

所以，

，

所以，，，

所以

．

3．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评” ，从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）

（1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？

（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列；

（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】见解析

【详解】（1）列联表补充完整如下：

，

因此有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．

（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率，且各次抽取之间互相独立，故，

其概率，，1，2，3．

其分布列为：

（3）随机变量的取值为0，1，2，

则，，，

，

化为：，解得，

又，，

故的最大值为2．

4．图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿，折起使得与重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；

（2）若二面角的余弦值为，求长．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：因为，平面，平面，

所以平面，

因为平面平面，平面，

所以，于是．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，1，，

，1，，，0，，，2，，

设平面和平面的法向量分别为，，和，，，

，令，，，，

，令，，，．

所以二面角的余弦值为，

整理得，解得或，

因为二面角是锐角，所以舍去，

故长为．

5．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是3．

（1）求，的值；

（2）已知、是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接、并分别延长交椭圆于、两点，证明：直线过定点．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1）解：由题意可得，，解得，，

所以，故；

（2）证明：设，，，，，，，，

因为，，三点共线，则有，即①，

又因为点，均在椭圆上，由（1）可得，椭圆的方程为，

所以，两式作商可得，②，

由①②可得，，同理可得，

所以直线的方程为，

又，，

所以直线的方程为，

故直线过定点．

6．设．

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2），

【详解】（1）证明：由题意可设，

有，则，得，

设，，

，则有，递增，得，

故得证；

（2）由（1）可知时，成立，

则当时，设，则，

，单调递增，则，

①若，，单调递减，则有，不合题意，

②若，，（1），

故有唯一零点，可记为，则，，

此时单调递减，有，则不合题意，

综上：的取值范围是，．