专题30 【大题限时练30】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集

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专题30 大题限时练301．记为等比数列的前项和．已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）设等比数列首项为，公比为，则，则，，由，，整理得：，解得：，则，，的通项公式；（2）由（1）可知：，则，，由，，，，即，，，成等差数列．2．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知中，，，分别为内角，，的对边，，，______，求角及的面积．【答案】见解析【详解】若选①，因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以，或，若，由，而，，从而，矛盾，舍去．故，接下来求的面积．法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理，得，，，，，法二：由题意可得，即，，，，，或，当时，又，，，由正弦定理，得，，当时，同理可得，故的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍，因为，所以，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，，，以下解法同①．3．某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列、期望和闯关成功的概率．【答案】见解析【详解】（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，2，，所以．（2）由题意，所有可能取值为，，0，10，20，30，，，，，，，所以的分布列为：0102030．由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．4．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．，分别是，的中点，且，平面平面．（1）证明：平面；（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连结，则且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以是正三角形，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，且，，平面，所以平面；（2）解：连结，则，所以，，在中，，又，，所以，故的面积为，由等体积法可得，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，所以，所以，所以，由图形可得，二面角为锐角，所以二面角的大小为．5．动点在圆上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．（1）求的轨迹的方程；（2）若，是轨迹上异于的两点，直线，的斜率分别为，，且，，为垂足．是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点坐标及的值．若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【详解】（1）连接，根据题意，，则，故动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为可知，，，所以点的轨迹的方程为．（2）设，，，，由题意可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为，代入椭圆方程可得：，则△，得，且，所以，由得：，即，当，直线，令，则，显然过定点，舍去，当，直线一，令，则，直线过定点，此时，，解得，存在直线过定点．当为，的中点时，则，，此时，存在定点，，使得为定值．6．已知，其中．（1）讨论的极值点的个数；（2）当时，证明：．【答案】见解析【详解】（1）由题意的定义域是，，令，则，①当时，，令，解得：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在上有且只有1个极值点，②当时，，故在上单调递增，又（1），，故在上存在唯一零点，记为，，，的变化如下：，0递减极小值递增故在上有且只有1个极值点，③当时，令，解得：，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，当时，，故，在单调递增，故在上无极值点，当时，，又（1），，下面证明，令（a），则（a），故（a）在，上单调递增，故（a），故在上有且只有2个零点，分别记为，，则，，的变化如下：00递增极大值递减极小值递增故在上有且只有2个极值点，综上：当时，无极值点，当时，有2个极值点，当时，有1个极值点；（2）由（1）知，当时，（1），故，即，故当时，，令，则，故．