专题01+【大题限时练1】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题01 大题限时练11．在①函数的图象关于直线对称，②函数的图象关于点，对称，③函数的图象经过点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知函数，最小正周期为，且____，判断函数在，上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【详解】因为的周期，所以，选①函数的图象关于直线对称，故，即，，因为，故，，由，得，，当即时，函数取得最大值1；选②函数的图象关于点，对称，故，即，，因为，故，，当，即时，函数取得最大值1；选③函数的图象经过点，，则，所以，所以，，当，即时，函数取得最大值1，此时取不到最大值．2．已知数列的前项和为，，．（1）证明：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，又，，，数列是首项为3，公比为3的等比数列，且，；（2）解：由（1）可得：，，，又，，，当时，，当时，，综上，．3．如图，三棱锥中，侧棱底面，点在以为直径的圆上．（1）若，且为的中点，证明：；（2）若，求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：因为侧棱底面，平面，所以又点在以为直径的圆上，所以，又，，平面，所以平面，在平面内过点作垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，以为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，设，则，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，，，，故，所以，故；（2）解：当，为的中点时，，则由（1）可知，平面，故可取平面的一个法向量为，当时，，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小为．4．随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增，方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题，绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市．菏泽市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人” 岁岁）和“非年轻人” 岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”，使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”．已知在“单车族”中有是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并判断是否有的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与能力列联表 年轻人非年轻人合计单车族   非单车族   合计   （2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量，求的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表0.150.100.050.0250.012.0722.7063.8415.0246.635其中，，（注保留三位小数）．【答案】见解析【详解】（1）补全的列联表如下： 年轻人非年轻人合计单车族20040240非单车族12040160合计32080400，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．（2）由（1）的列联表可知，既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为0.1，，，1，2，3，，，，，的分布列为：01230.7290.2430.0270.001的数学期望．5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆相切于点，，求的最小值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）直线的方程为．到直线的距离为．而，，，椭圆的标准方程为．（2）设，，，，，，，，△，，，，．令，．，．即的最小值为．6．青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，（1））处的曲率为．（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．【答案】（1）；（2），；（3）见解析【详解】（1）解：，若，则，，，因为曲线在点，（1）处的曲率为，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函数存在零点，则方程在上有解，即在上有解，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，从而，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是，．（3）证明：由（2）得，则，则，又，则，所以．