专题04【大题限时练4】-备战2022年山东高考数学满分限时题集

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专题04 大题限时练41．在①，②，③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为，为等比数列，其前项和，为常数，，___．（1）求数列，的通项公式；（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值．【答案】见解析【详解】选①，（1）设的公差为，不为零，的公比为，由已知可得，，所以，则；故，则，解得，所以；（2）由，则，，，所以．选②．（1）设的公差为，不为零，的公比为，由已知可得，，所以，则；故，由，可得，解得，所以；（2）由，则，，，所以．选③是与的等比中项，（1）设的公差为，不为零，的公比为，由已知可得，，所以，则；故，由是与的等比中项，可得，即，解得，则；（2）由，则，，，所以．2．将函数图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，求的面积．【答案】（1）的解析式；函数的单调递增区间为；（2）见解析【详解】（1）函数图象，函数上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．令：，整理得：，故函数的单调递增区间为：．（2）由，故，，整理得，由于，所以，①当，解得，由余弦定理：，解得：，所以：．②当时，解得．由勾股定理：解得，所以．3．已知正方体和平面，直线平面，直线平面．（1）证明：平面平面；（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连结，则，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，所以平面，因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：设正方体的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，1，，，1，，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设，则，因为，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以当时，取到最大值为，此时的最大值为．4．如图，，，，为抛物线上四个不同的点，直线与直线相交于点，直线过点．（1）记，的纵坐标分别为，，求的值；（2）记直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）设直线的方程为，代入得，则，（2）由（1）同理得，设直线的方程为，代入得，则，又，同理，则，存在实数，使得成立．5．已知椭圆的离心率，且经过点，点，为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点，，与直线交于点．若，且点满足，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）6【详解】（1）由题意，得，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）可得，若直线的斜率为0，则的方程为与直线无交点，不满足条件；设直线，若，则则不满足，所以，设，，，，，，由，得，所以，，因为，即，则，，所以，解得，于是，直线的方程为，联立，解得，所以．所以，当且仅当时，．6．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．