人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质教学设计

一、问题情境

1．情境：

    复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中，，的关系。

2．问题：

在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质。那么椭圆有哪些几何性质呢？

二、学生活动

探究椭圆的几何性质

1．椭圆的范围是指椭圆的标准方程中x，y的范围，可以用哪些方法推导？

2．借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？

3．椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？

三、建构数学

1．范围：

由方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，

即，所以 ，同理可得。

这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内。

2．对称性：

从图形上看：椭圆关于轴、轴、原点对称。

从方程上看：

（1）把换成方程不变，说明当点在椭圆上时，点关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆的图像关于轴对称；

（2）把换成方程不变，所以椭圆的图像关于轴对称；

（3）把换成，同时把换成方程不变，所以椭圆的图像关于原点成中心对称。

综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

3．顶点：

在方程中，令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点。同理，是椭圆与轴的两个交点。

（1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点；

（2）长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；

（3），的几何意义：是长半轴的长，是短半轴的长。

四、数学运用

1．求椭圆的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆。

2．求符合下列条件的椭圆标准方程（焦点在x轴上）：

（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直。

（2）已知椭圆的中心在原点，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。

3．根据前面所学有关知识画出下列图形

（1）。                        （2）。

4．在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（      ）       

A．                 B．      

C．            D．

五、回顾小结

1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；

2．研究椭圆性质的方法。